페미위키:포크 프로젝트/리브레 위키/그레이엄 수

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그레이엄 수(Graham's number)는 미국의 수학자 로널드 루이스 그레이엄(Ronald Lewis Graham)이 고안한 이다.

1 역사

그레이엄은 램지 이론(Ramsey theory)의 특정 조건을 만족시키는 최솟값으로 그레이엄 수를 제시했다. 특정 조건은 다음과 같다.

2차원 평방체인 정사각형에는 2^2 = 4개의 꼭짓점이, 3차원 입방체인 정육면체에는 2^3 = 8개의 꼭짓점이 있다. 이를 일반화하면 도형의 차원을 n차원으로 높인 초입방체에는 2^n개의 꼭짓점이 있다. 이제 이 꼭짓점들을 전부 선분으로 연결하고(선분에는 모서리와 대각선이 해당한다), 각 선분마다 두 가지 색 중 하나를 골라 모두 칠한다. 그리고 그 초입방체의 한 평면에 있는 4개의 점을 생각하자. 네 점은 ⊠ 모양으로 연결되어 있다. 만약 정육면체에서라면, 색을 어떻게 칠하느냐에 따라 ⊠ 모양이 같은 색으로만 칠해져있는 경우가 하나도 없게 만들 수 있다. 이것은 4차원, 5차원 등의 초입방체에서도 가능하다. 그러나 차원수 n이 어떤 수 이상이면, 어떠한 방식으로 색을 칠해도 같은 색으로만 칠해진 ⊠ 모양이 반드시 존재한다. 여기서 n의 값이 바로 그레이엄 수이다.

그레이엄은 자신이 고안한 특정한 수가 n값에 해당한다는 것을 1977년에 증명했다. 그 값은 너무나 크기 때문에 일반적인 수학 기호로는 표현할 수 없어, 아래의 크기 표현 문단에 나타난 방식으로 표현된다. 그 이후 많은 수학자들이 더 작은 n값이 존재하는지를 찾고 있다.

2 크기 표현

커누스 윗화살표 표기법을 사용해야 한다.

먼저 거의 모든 사람들이 아는 숫자 '3' 부터 시작하자.

3

우리에게 친숙한 덧셈이다.

3+3+3= 3*3 이다.

덧셈을 했으니 이제는 곱셈이다.

3*3*3= 3^3 이다.

거듭제곱이 나왔으니 이제 거듭제곱을 거듭한 연산을 나타내는 크누스 윗화살표를 사용해 보자.

↑(커누스 윗화살표)

3^3^3=3^27=3↑↑3

3↑↑3= 7625597484987 즉, 약 7조 6천억 정도 이다.

그렇다면 3↑↑↑3은 7625597484987개의 3이 지수형태로 쌓여 있다는 것이다. 그냥 엄청나게 큰 숫자라고 이해하자.

3↑↑↑↑3도 엄청나게 큰 숫자다. 3↑↑↑↑3는 G(1)이라고 표기한다.

G(2)는 3↑↑.....↑↑3 라고 할 때 화살표 개수가 G(1)개다.

G(3)는 3↑↑.....↑↑3 라고 할 때 화살표 개수가 G(2)개다.

G(4)는 3↑↑.....↑↑3 라고 할 때 화살표 개수가 G(3)개다.

즉, G(n+1)을 3↑↑.....↑↑3로 나타낼 때 화살표 개수는 G(n)개이다.

이를 계속 해서 해서 G(64)에 왔다고 치자. 이는 화살표 G(63)개다.

G(64)가 그레이엄 수다. 엄청난 숫자이다. 이게 왜 엄청난 숫자인지 실감이 안 되면 이해가 잘 되지 않은 것이라고 할 수 있다.

3 의미

그레이엄 수는 수학적인 의미를 갖는 가장 큰 수이다. 누구나 설정놀음을 통해 얼마든지 큰 수를 창조해낼 수 있으나, 그레이엄 수는 특정한 수학 이론에 실제로 쓰이는 값이므로 그 의미가 있는 것이다.

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