출처 필요
이 문장 또는 문단의 내용은 출처가 분명하지 않습니다. 출처를 추가해 주세요. 방정식 (方程式, 영어: equation )은 미지수 가 포함된 식에서 그 미지수 에 특정한 값을 주었을 때만 성립하는 등식이다. 이때, 방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 특정 문자의 값을 해 또는 근이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 전자의 경우는 불능이라고 하고, 중자의 경우는 방정식 , 후자의 경우는 항등식 (부정 )이라 한다.
예를 들어
(
x
+
1
)
2
=
x
2
+
2
x
+
1
{\displaystyle \,{(x+1)}^{2}=x^{2}+2x+1}
은 문자
x
{\displaystyle x}
x
2
−
5
x
+
6
=
0
{\displaystyle \,x^{2}-5x+6=0}
은 방정식이고, 그 해는
2
{\displaystyle \ 2}
3
{\displaystyle \ 3}
0
x
=
7
{\displaystyle 0x=7}
x
{\displaystyle x}
방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 구장산술의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 연립방정식의 계수를 직사각형 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 가우스 소거법에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 음수의 계산도 자유자재로 할 수 있었다.
방정식에서 해를 구하려는 문자, 즉 미지수로는 보통
x
{\displaystyle x}
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
프랑스 의 수학자겸 철학자인 데카르트 로부터 비롯되었다.
다항 방정식
파스칼의 다항 방정식
파스칼 수열
다항정리
1
1
1
(
x
+
y
)
=
x
+
y
{\displaystyle (x+y)=x+y}
1
2
1
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
1
3
3
1
(
x
+
y
)
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}
1
4
6
4
1
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}}
1
5
10
10
5
1
(
x
+
y
)
5
=
x
5
+
5
x
4
y
+
10
x
3
y
2
+
10
x
2
y
3
+
5
x
y
4
+
y
5
{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}}
1
6
15
20
15
6
1
(
x
+
y
)
6
=
x
6
+
6
x
5
y
+
15
x
4
y
2
+
20
x
3
y
3
+
15
x
2
y
4
+
6
x
y
5
+
y
6
{\displaystyle (x+y)^{6}=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6}}
1
7
21
35
35
21
7
1
(
x
+
y
)
7
=
x
7
+
7
x
6
y
+
21
x
5
y
2
+
35
x
4
y
3
+
35
x
3
y
4
+
21
x
2
y
5
+
7
x
6
y
+
y
7
{\displaystyle (x+y)^{7}={x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7x^{6}y+y^{7}}}
이항 계속
(
x
+
y
)
z
{\displaystyle (x+y)^{z}}
(
x
+
y
)
z
{\displaystyle (x+y)^{z}}
이항정리 에서 계수들의 값을 계산하는 데에 사용된다. 예를 들어서
(
x
+
1
)
2
=
1
⋅
x
2
+
2
⋅
x
+
1
{\displaystyle (x+1)^{2}=1\cdot x^{2}+2\cdot x+1}
라는 식에서, 각 계수의 값인 1, 2, 1은 파스칼의 삼각형의 3번째 줄에 대응된다.
일반적으로,
(
x
+
y
)
n
=
a
0
x
n
y
0
+
a
1
x
n
−
1
y
1
+
a
2
x
n
−
2
y
2
+
⋯
+
a
n
−
2
x
2
y
n
−
2
+
a
n
−
1
x
1
y
n
−
1
+
a
n
x
0
y
n
{\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-2}x^{2}y^{n-2}+a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}}
와 같은 전개식에서,
a
i
=
(
n
+
1
k
)
{\displaystyle a_{i}={n+1 \choose k}}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
(
k
)
{\displaystyle (k)}
2차방정식
전개:
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
=
x
2
+
[
(
a
+
b
)
x
]
+
a
b
{\displaystyle (x+a)(x+b)=x^{2}+[(a+b)x]+ab}
3차방정식
전개:
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
(
x
+
c
)
=
x
3
+
[
(
a
+
b
+
c
)
x
2
]
+
[
(
a
b
+
a
c
+
b
c
)
x
]
+
a
b
c
{\displaystyle (x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+[(a+b+c)x^{2}]+[(ab+ac+bc)x]+abc}
4차방정식
사차 함수의 그래프 전개:
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
(
x
+
c
)
(
x
+
d
)
{\displaystyle (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)}
=
x
4
+
[
(
a
+
b
+
c
+
d
)
x
3
]
+
[
(
a
b
+
a
c
+
a
d
+
b
c
+
b
d
+
c
d
)
x
2
]
+
[
(
a
b
c
+
a
b
d
+
a
c
d
+
b
c
d
)
x
]
+
a
b
c
d
{\displaystyle =x^{4}+[(a+b+c+d)x^{3}]+[(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^{2}]+[(abc+abd+acd+bcd)x]+abcd}
5차방정식
네 개의 임계점 을 가지는 오차함수의 그래프 전개 :
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
(
x
+
c
)
(
x
+
d
)
(
x
+
e
)
{\displaystyle (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)}
=
x
5
+
[
(
a
+
b
+
c
+
d
+
e
)
x
4
]
+
[
(
a
b
+
a
c
+
a
d
+
a
e
+
b
c
+
b
d
+
b
e
+
c
d
+
c
e
+
d
e
)
x
3
]
+
[
(
a
b
c
+
a
b
d
+
a
b
e
+
a
c
d
+
a
c
e
+
a
d
e
+
b
c
d
+
b
c
e
+
b
d
e
+
c
d
e
)
x
2
]
{\displaystyle =x^{5}+[(a+b+c+d+e)x^{4}]+[(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)x^{3}]+[(abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde)x^{2}]}
+
[
(
a
b
c
d
+
a
b
c
e
+
+
a
b
d
e
+
a
c
d
e
+
b
c
d
e
)
x
]
+
a
b
c
d
e
{\displaystyle +[(abcd+abce++abde+acde+bcde)x]+abcde}
원형 함수 방정식
x
2
+
y
2
=
10
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=10}
x
2
+
y
2
+
z
2
=
10
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=10}
근의 공식 1차부터 4차까지의 다항방정식은 사칙 연산과 제곱근 만 쓰는 일반화된 식으로 근을 표현할 수 있는데, 이를 근의 공식 이라 하며 특히 이차 방정식 의
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \textstyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
아벨-루피니 정리 에 의해 일반적인 대수적 근의 공식이 존재하지 않음이 알려져 있다. 다만, 타원함수 등의 초월함수를 이용하면 5차 이상의 방정식도 근의 공식을 만들 수 있다
유리방정식 본문을 가져온 내용
이 내용은 유리방정식 문서의 본문을 가져와 보여주고 있습니다. 더 자세한 내용은 해당 문서에서 확인해 주십시오. 무리 방정식 방정식의 항에 무리식 (루트 )을 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리 방정식이라 한다.
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
x
−
1
=
−
x
+
1
{\displaystyle x-1=-{\sqrt {x+1}}}
(
x
−
1
)
2
=
(
−
x
+
1
)
2
{\displaystyle (x-1)^{2}=(-{\sqrt {x+1}})^{2}}
(
x
−
1
)
(
x
−
1
)
=
x
+
1
{\displaystyle (x-1)(x-1)=x+1}
x
2
−
2
x
+
1
=
x
+
1
{\displaystyle x^{2}-2x+1=x+1}
x
2
−
2
x
+
1
−
(
x
+
1
)
=
0
{\displaystyle x^{2}-2x+1-(x+1)=0}
x
2
−
2
x
+
1
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{2}-2x+1-x-1=0}
x
2
−
3
x
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x=0}
x
(
x
−
3
)
=
0
{\displaystyle x(x-3)=0}
인수분해하면,
(
x
)
(
x
−
3
)
=
0
{\displaystyle (x)(x-3)=0}
∴
x
=
0
,
x
−
3
=
0
{\displaystyle \therefore \;x=0,x-3=0}
x
=
0
,
x
=
3
{\displaystyle x={0},x={3}}
주의: 무리 방정식에는 무연근이란 것이 있다. 분수방정식에서는 분모를 0으로 만드는 해 , 무리방정식에는 대입해봤을 때 성립하지 않 는 근이다. 이 근들은 해집합에서 제외된다. 자세한 내용은 무연근 참조. 그러니, 무리방정식은 해에 대해서 무연근 검사로 마무리검산을 해야하므로,
위의 두 근인
x
=
0
,
x
=
3
{\displaystyle x={0},x={3}}
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
우선 양변으로 놓으면,
x
−
1
=
−
x
+
1
{\displaystyle x-1=-{\sqrt {x+1}}}
이어서,
x
=
0
{\displaystyle x={0}}
(
0
)
−
1
=
−
(
0
)
+
1
{\displaystyle (0)-1=-{\sqrt {(0)+1}}}
−
1
=
−
1
{\displaystyle -1=-1}
x
=
3
{\displaystyle x={3}}
x
−
1
=
−
x
+
1
{\displaystyle x-1=-{\sqrt {x+1}}}
(
3
)
−
1
=
−
(
3
)
+
1
{\displaystyle (3)-1=-{\sqrt {(3)+1}}}
2
=
−
4
{\displaystyle 2=-{\sqrt {4}}}
2
≠
−
2
{\displaystyle 2\neq -2}
∴
x
=
3
{\displaystyle \therefore x=3}
따라서,
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
x
=
0
{\displaystyle x={0}}
그러나, 무리방정식은 해에 대해서 무연근 검사로 마무리검산을 해야하므로,
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
x
+
1
=
1
−
x
,
{\displaystyle {\sqrt {x+1}}=1-x\;,}
x
{\displaystyle x}
0
{\displaystyle 0}
1
−
x
>
0
{\displaystyle 1-x>0}
1
>
x
{\displaystyle 1>x}
위의 두 근인
x
=
2
,
x
=
1
{\displaystyle x={2},x={1}}
기타
sin
x
=
cos
x
×
tan
x
{\displaystyle \sin x=\cos x\times \tan x}
연립 방정식 은 서로 다른 2개의 미지수 가 주어진 방정식 들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. 연립 방정식 도 미지수의 차수에 따라 연립 일차 방정식 , 연립 이차 방정식 등으로 나뉜다. 연립 일차 방정식 에선 y=ax+b와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 대입법 과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 가감법 , 그리고 행렬을 이용한 가우스 소거법 이 주로 사용된다.
방정식은 2x+3=0과 같이 x(미지수)의 값에 따라 등식이 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 한다. 방정식은 중국의 구장산술이라는 산학서에서부터 유래되었다고 한다. 이 방정식에도 원 방정식, 직선의 방정식, 미분 방정식 등 여러가지가 있고, 또, 미지수의 차수에 따라 일차 방정식 , 이차 방정식 , 삼차 방정식 , 고차 방정식 ... 등으로 나뉜다. 특히 이차 방정식에는 미지수의 값을 구하는 근의 공식이라는 식이 있다. 이차방정식 ax^2+bx+c=0(a≠0)의 근의 공식은 -b±√b^2-4ac/2a 이고, ax^2+2b'x+c=0(a≠0)의 근의 공식은 -b'±√b'^2-ac/a이다. 삼차 방정식과 사차 방정식은 특수한 경우에 성립하는 근의 공식이 있다. 오차 방정식부턴 근의 공식이 존재하지 않는다. (아벨이 증명) 갈루아 이론을 이용하면 아벨과는 다른 방법으로 증명 이 가능하다.
같이 보기
위키미디어 공용 [{{fullurl:Commons:Category:{{{1}}}|uselang=ko}} 포크 프로젝트/위키백과/방정식]
미완성 틀입니다
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스크립트 오류: "Authority control" 모듈이 없습니다.
![{\displaystyle (x+a)(x+b)=x^{2}+[(a+b)x]+ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3171a41edfc444ded3d3c830157de75de0980d8a)
![{\displaystyle (x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+[(a+b+c)x^{2}]+[(ab+ac+bc)x]+abc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62689c3d4774facf31895e8221f86bc18563990)
![{\displaystyle =x^{4}+[(a+b+c+d)x^{3}]+[(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^{2}]+[(abc+abd+acd+bcd)x]+abcd}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e646d9c6f8747624503180b095ff365b8ef1086)
![{\displaystyle =x^{5}+[(a+b+c+d+e)x^{4}]+[(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)x^{3}]+[(abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde)x^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d7c876b53d02848afde8b53a0d9d6b6802c09a)
![{\displaystyle +[(abcd+abce++abde+acde+bcde)x]+abcde}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2379ea449c1bd98338d0e7fbb1d5136980f193)
