폐포(위상수학)

정의

정의 1. 위상공간 $X$의 집합 $A$에 대해

$\bar{A}=A\cup A^{\prime }$

를 $A$의 폐포(closure)라고 한다. 이때 $A^{\prime }$는 $A$의 유도집합, 즉 $A$의 극한점을 모은 집합이다.

성질

정리 2. 위상공간 $X$의 부분집합 $A$에 대해 다음 명제는 모두 동등하다.

• $\bar{A}$는 $A$의 폐포이다.
• $\bar{A}$는 $A$를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.
• $\bar{A}=\bigcap \{B\supset A:B\text{ is closed in }X\}$이다.
• $\bar{A}=A\cap \mathrm{bdy}A$이다. 이때 $\mathrm{bdy}A$는 $A$의 경계이다.
• $\bar{A}$는 $A$의 모든 고립점을 모은 집합과 모든 극한점을 모은 집합의 합집합이다.