폐포(위상수학)

정의

정의 1. 위상공간 $X$의 집합 $A$에 대해

${\overline {A}}=A\cup A'$

를 $A$의 폐포(closure)라고 한다. 이때 $A'$는 $A$의 유도집합, 즉 $A$의 극한점을 모은 집합이다.

성질

정리 2. 위상공간 $X$의 부분집합 $A$에 대해 다음 명제는 모두 동등하다.

• ${\overline {A}}$는 $A$의 폐포이다.
• ${\overline {A}}$는 $A$를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.
• ${\overline {A}}=\bigcap \{B\supset A:B{\text{ is closed in }}X\}$이다.
• ${\overline {A}}=A\cap \operatorname {bdy} A$이다. 이때 $\operatorname {bdy} A$는 $A$의 경계이다.
• ${\overline {A}}$는 $A$의 모든 고립점을 모은 집합과 모든 극한점을 모은 집합의 합집합이다.