푸앵카레 추측

최근 편집: 2023년 1월 3일 (화) 01:59

푸앵카레 추측4차원 초구의 경계인 3차원 구면의 위상학적 특징에 관한 다음과 같은 정리이다.

"모든, 경계가 없는 단일 연결 콤팩트 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다."

유일하게 증명된 밀레니엄 문제이다.

개요

"모든, 경계가 없는 단일 연결 콤팩트 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다."

이를 이해하기 쉽게 풀어서 설명하면 다음과 같다.

"3차원 공간에서 폐곡선이 하나의 점으로 모일 수 있다면 그 공간은 구로 변형될 수 있다."

이를 이해하기 쉽게 풀어서 설명하면 다음과 같다.

"3차원 공간에서 한쪽 끝을 내게 묶은 끈을 던져서 다른 끝을 잡아 회수하였을 때에 걸리는 게 없다면 그 공간에는 구멍이 없다."

제시

이 명제는 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레(Jules-Henri Poincaré)의 1904년 논문에 처음 등장하였다. 우주의 형태에 대한 추측과 밀접한 관련이 있다.

증명

러시아의 수학자 그리고리 페렐만이 사실상 2002년도에 증명하였고 2006년 이것으로 필즈상을 수상하여 공식 인정을 받았지만 거절하였다.

1961년 스티븐 스메일에 의해 5차원 이상의 경우가 증명됐다. 1982년 마이클 프리드먼이 4차원의 경우를 증명하였다. 원래 문제는 그리고리 페렐만이 해결하였다. 이로써 이 추측은 정리로 불릴 수 있게 되었다.