하우스도르프 공간

정의

위상공간 $X$의 임의의 서로 다른 점 $a,b\in X$에 대해 서로소인 열린집합 $U,V$가 존재해 $a\in U,b\in V$이면 $X$를 하우스도르프 공간(Hausdorff space), 또는 $T_{2}$ 공간($T_{2}$-space)이라고 한다.

Theorem — 다음 명제는 모두 동등하다.

• $(X,{\mathcal {T}})$는 하우스도르프 공간이다.
• $p\in X$가 주어졌을 때, 임의의 $q\neq p$에 대해 $p$를 포함하고 $q\notin {\overline {U}}$인 열린집합 $U$가 존재한다.
• 임의의 $p\in X$에 대해 구문 분석 실패 (구문 오류): {\displaystyle \bigcap \{\overline{U}:p\in U,\text{$U$ is open}\}=\{p\}} 이다.
• 대각(diagonal) $\Delta =\{(x,x)\in X\times X:x\in X\}$는 $X\times X$의 닫힌집합이다.

예시

Example — 임의의 거리공간은 하우스도르프 공간이다.

Non-Example — 쌍대유한위상이 주어진 실수선은 하우스도르프 공간이 아니다.

Non-Example — 자명위상이 주어지고 원소의 개수가 두 개 이상인 위상공간은 하우스도르프 공간이 아니다.

성질

Theorem — 하우스도르프 성질은 위상적 성질이다.

Theorem — 하우스도르프 성질은 계승적 성질이다.

Theorem — 하우스도르프 공간에서 정의된 수열이 수렴하면 그 극한값은 유일하다.

Theorem — 하우스도르프 공간의 곱공간은 하우스도르프 공간이다.