행렬식(行列式, determinant)은 정사각행렬의 항을 통해 정의되는 함수의 하나이다. 복소수나 사원수 따위의 절댓값과 비슷한 성질을 가진다.
정의
라이프니츠의 정의에 따르면 nxn 행렬에 대해, 1번째부터 n번째까지 n개의 행에 대해 1번째부터 n번째까지 서로 다른 열을 고르는 순열을 생각한다. {1,2,3,4,5,...,n}을 {1,2,3,4,5,...,n}에 대응시키는 순열을 통해 골라진 n개의 칸의 수를 모두 곱한다. 골라진 그 순열이 홀순열이면 1을 곱하고, 짝순열이면 -1을 곱한다.
여기서, 순서를 바꾸지 않는 순열은 홀순열이며, 순열에서 두수를 골라 두 수의 순서를 바꾸면 순열의 홀짝성이 바뀐다.
조건에 맞게 n개의 원소를 고르는 순열에 대해 계산된 값을 모두 더하면 행렬식이 된다.
성질
두 행이 같은 행렬은 행렬식이 0이고, 두 열이 같은 행렬도 행렬식이 0이다.
한 행을 c배하거나 한 열을 c배 하면 행렬식도 c배가 된다.
두 행의 순서를 바꾸거나 두 열의 순서를 바꾸면 행렬식의 부호가 반대로 된다.
det(AB)=det(A)det(B)이다.
계산
1x1 행렬의 행렬식은 항의 값이다.
2x2 행렬과 3x3 행렬의 행렬식은 쉽게 구할 수 있다.
왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 항들은 곱하여 더하고, 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 내려가는 항들은 곱하여 빼면 행렬식이 된다.
이 방법은 4x4 행렬 이상에 적용되지 않으며, 항들의 곱을 이용해 계산하는 방법은 nxn 행렬에 대해 n!에 비례하는 시간이 든다. 하지만 다른 방법을 이용하면 n의 3~4제곱에 비례하는 시간만에 행렬식을 계산할 수 있다.