행렬식

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행렬식(行列式, determinant)은 정사각행렬의 항을 통해 정의되는 함수의 하나이다. 복소수사원수 따위의 절댓값과 비슷한 성질을 가진다.

1 정의

라이프니츠의 정의에 따르면 nxn 행렬에 대해, 1번째부터 n번째까지 n개의 행에 대해 1번째부터 n번째까지 서로 다른 열을 고르는 순열을 생각한다. {1,2,3,4,5,...,n}을 {1,2,3,4,5,...,n}에 대응시키는 순열을 통해 골라진 n개의 칸의 수를 모두 곱한다. 골라진 그 순열이 홀순열이면 1을 곱하고, 짝순열이면 -1을 곱한다.

여기서, 순서를 바꾸지 않는 순열은 홀순열이며, 순열에서 두수를 골라 두 수의 순서를 바꾸면 순열의 홀짝성이 바뀐다.

조건에 맞게 n개의 원소를 고르는 순열에 대해 계산된 값을 모두 더하면 행렬식이 된다.

2 성질

두 행이 같은 행렬은 행렬식이 0이고, 두 열이 같은 행렬도 행렬식이 0이다.

한 행을 c배하거나 한 열을 c배 하면 행렬식도 c배가 된다.

두 행의 순서를 바꾸거나 두 열의 순서를 바꾸면 행렬식의 부호가 반대로 된다.

det(AB)=det(A)det(B)이다.

3 계산

1x1 행렬의 행렬식은 항의 값이다.

2x2 행렬과 3x3 행렬의 행렬식은 쉽게 구할 수 있다.

왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 항들은 곱하여 더하고, 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 내려가는 항들은 곱하여 빼면 행렬식이 된다.

이 방법은 4x4 행렬 이상에 적용되지 않으며, 항들의 곱을 이용해 계산하는 방법은 nxn 행렬에 대해 n!에 비례하는 시간이 든다. 하지만 다른 방법을 이용하면 n의 3~4제곱에 비례하는 시간만에 행렬식을 계산할 수 있다.