0.999…=1

최근 편집: 2022년 12월 24일 (토) 11:58

개요

0.999... = 1은 사람들이 흔히 수학계의 영원한 떡밥이라고 착각하는 (보통 다루는 공간에서) 인 명제 중 하나이다. 가끔 evergreenc 같은 유사수학자들이 이를 말도 안 되는 논리를 들어 거짓이라고 설명증명하고는 한다.

실수의 십진 표현

먼저 실수의 십진 표현에 대하여 알아보자. 어떤 0 이상 1 이하의 실수 에 대하여 어떤 수열 이 존재하여 일 때 로 표시하는 것이다. 그외의 범위에 대해서는 에서 정의된다. 즉, 우리가 알고 있던 무한소수는 사실 무한급수이다.

잘못된 증명

1

1은 1.000...과 같다. 즉 1=1.000...
1.000...에서 0.999...를 뺀다.
그 결과는 0.000...
소수점 아래로 0이 무한 개가 나온다.
즉 1에서 0.999...를 뺀 건 0이랑 별 차이 없다고 볼 수 있다.
그래서 0.999...는 1과 별 차이 없다.

별 차이 없다같다는 완전히 다르다. 별 차이 없어도 같지 않을 수 있으며, 별 차이 없음의 기준이 모호하기도 하다. 물론 1 - 0.99... = 0이다.

2

1÷9를 연필과 종이를 가지고 직접 계산하던지, 아니면 계산기를 꺼내어 실행해보자. 몇이 나오는가? 0.111… 이다. 즉, 0.111…=1/9이다.

  • 0.111… = 1/9
  • 9 * 0.111… = 9 * 1/9
  • 0.999… = 1

이건 증명이 아니라 확인이다... 애초에 1/9 = 0.111…임을 알면 1 = 0.999…임도 알 것이고….

증명

1

{{{1}}}

0.999...를 x라 하자.
x = 0.999...
10x=9.999...
10x - x = 9.999... - 0.999...이므로,
9x = 9, x=1
따라서 0.999...는 1이 된다.

중학교 교과과정에서 이런 식(2, 3)의 증명을 하지만, 이런 논리를 펼치면 9x = 0.8999...1이라는 사람이 꼭 나타나게 된다. 물론 무한소수의 의미를 안다면 이런 주장은 하지 못할 것이다. 무한소수에는 끝 자리 숫자라는 것이 존재하지 않는다. 하지만 그 사람들의 주장처럼, 여기에서는 0.999…의 수렴성이 증명되지 않는다. 즉 1-1+1-1+… = 1/2(그란디 급수)[1]과 같은 주장의 여지가 있다. 물론 단조수렴정리면 끝이지만…. 이 정리를 배우지 않고서는 이 증명을 정당화할 수는 없으며, 극한이나 무한 개념을 배우기 이전인 중학교 때엔 그냥 대충 넘어간다.

2

0.999...는 초항이 0.9이고 공비가 인 무한등비급수로 볼 수 있다. 따라서

여기서 우변의 는 첫째항이 1이고 공비가 인 등비수열 의 급수이므로


이다.

고교 과정에서 배우는 등비급수를 이용한 증명이다. 이때 이 급수의 수렴성은 자명하므로(멱급수의 수렴 반경) 옳은 증명이 된다.

0.999…의 수렴성

0.999…가 수렴한다는 것은 usual topology를 위상으로 택했을 때에나 가능한 일이다. 만약 lower limit topology를 선택했다면, 0.999…는 수렴하지 않는다.

같이 보기

  1. 이런 결과를 내게 하는 급수 계산 방법도 있는데, 그 중 하나가 체사로 합이다.