2학년의 꿈

2학년의 꿈(Sophomore's dream)은 1697년에 요한 베르누이가 발견한 정리다. 2004년에 명명되어 지금까지 쓰이고 있다.

진술

다음 식이 성립한다.

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{x}}}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}$

$\int _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{n}}}$

증명

$x^{x}$는 다음과 같이 변형할 수 있다.

$x^{x}=e^{x\ln x}$

이때 $e^{x}$의 매클로린급수는

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

이므로

$e^{x\ln x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}$

이다. 따라서

$\int _{0}^{1}x^{x}dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}dx$

이다. $x\in (0,1]$이라 하자. $f(x)=x\ln x$라 하면

$f'(x)=\ln x+1$

이므로 f는 0<x<1/e일 때 감소하고 1/e<x<1일 때 증가하며, x=1/e에서 최솟값 -1/e를 가진다. 그러면

$\lim _{x\to +0}x\ln x=0$

이므로

$\left|x\ln x\right|\leq {\frac {1}{e}}$

이고 따라서

${\frac {(x\ln x)^{n}}{n!}}\leq {\frac {1}{e^{n}n!}}$

이며

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{e^{n}n!}}$

는 수렴한다. 따라서 바이어슈트라스-M 판정법에 의해

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x\ln x)^{n}}{n!}}$

는 고른수렴한다. 따라서 다음 식이 성립한다.

$\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x\ln x)^{n}}{n!}}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(x\ln x)^{n}}{n!}}dx$

한편, 임의의 자연수 n에 대해

${\begin{aligned}\int x^{n}(\ln x)^{n}dx&={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}(\ln x)^{n}-{\frac {n}{n+1}}\int x^{n}(\ln x)^{n-1}dx\\&={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}(\ln x)^{n}-{\frac {n}{n+1}}\left({\frac {1}{n+1}}x^{n+1}(\ln x)^{n-1}-{\frac {n-1}{n+1}}\int x^{n}(\ln x)^{n-2}dx\right)\\&=\cdots \\&=x^{n+1}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {i!{n \choose i}}{(n+1)^{i+1}}}(\ln x)^{n-i}\end{aligned}}$

이다. 임의의 자연수 m,n에 대해, 로피탈의 정리에 의해

$\lim _{x\to +0}x^{m}(\ln x)^{n}=0$

이고 $\ln 1=0$이므로

$\int _{0}^{1}x^{n}(\ln x)^{n}dx=(-1)^{n}{\frac {n!}{(n+1)^{n+1}}}$

이다. 그러므로

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(x\ln x)^{n}}{n!}}dx&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{n}}}\end{aligned}}$

을 얻는다.왜이리 길어?

같이 보기

• 1학년의 꿈