2학년의 꿈

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2학년의 꿈(Sophomore's dream)1697년요한 베르누이가 발견한 정리다.[1] 2004년에 명명되어 지금까지 쓰이고 있다.[2]

진술

다음 식이 성립한다.

증명

는 다음과 같이 변형할 수 있다.

이때 의 매클로린급수는

이므로

이다. 따라서

이다. 이라 하자. 라 하면

이므로 f는 0<x<1/e일 때 감소하고 1/e<x<1일 때 증가하며, x=1/e에서 최솟값 -1/e를 가진다. 그러면

이므로

이고 따라서

이며

는 수렴한다. 따라서 바이어슈트라스-M 판정법에 의해

고른수렴한다. 따라서 다음 식이 성립한다.

한편, 임의의 자연수 n에 대해

이다. 임의의 자연수 m,n에 대해, 로피탈의 정리에 의해

이고 이므로

이다. 그러므로

을 얻는다.왜이리 길어?

같이 보기

  1. Bos, Henk JM. "Johann Bernoulli on Exponential Curves ca. 1695 Innovation and Habituation in the Transition from Explicit Constructions to Implicit Functions." Nieuw Archief voor Wiskunde 14 (1996): 1-20.
  2. Borwein, J., & Bailey, D. (2004). Experimentation in mathematics: Computational paths to discovery. Natick, Mass.: AK Peters.