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미적분Ⅰ은 대한민국의 2009 개정 교육과정의 보통교과다.

내용의 영역과 기준

내용 체계

영역	내용
수열의 극한	수열의 극한
	급수
함수의 극한과 연속	함수의 극한
	함수의 연속
다항함수의 미분법	미분계수
	도함수
	도함수의 활용
다항함수의 적분법	부정적분
	정적분
	정적분의 활용

학습 내용

수열의 극한

• 수열의 극한

수열 $\{a_n\}$에 대해 n이 커질 때 a_n이 일정한 값 L에 가까이 다가가면 수렴한다고 하고, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=L$로 나타낸다. 수열이 수렴하지 않으면, 발산한다고 한다.

다음 사실이 알려져 있다: 수열 $\{a_n\},\{b_n\}$에 대해 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=L_1$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=L_2$일 때,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}c{a}_n=c{L}_1$ (단, c는 상수)

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n+b_n)=L_1+L_2$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=L_1{L}_2$

등비수열 $\{a{r}^{n-1}\}$에 대해,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}a{r}^{n-1}=\{\begin{array}{cc}0& (|r|<1\text{ or }a=0)\\ a& (r=1)\\ div.& (\text{otherwise})\end{array}$

• 급수

급수란,

$\sum _{i=1}^n{a}_i$

를 $\{a_i\}$의 부분합이라고 한다.

무한등비급수

함수의 극한

• 함수의 극한
• 함수의 연속

함수 f

다항함수의 미분법

• 미분계수

함수 f의 한 점 x=a에 대해 x+Δx

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$

을 평균변화율이라 한다.

함수 f에 대해

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

가 존재하면 f는 x=a에서 미분가능하다고 하고, 이때 극한값을 순간변화율 또는 미분계수라 부르며 f '(a)로 나타낸다.

미분계수의 기하학적 의미, 미분가능성과 연속성

• 도함수

다항함수의 도함수는

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ (단, n은 자연수)

로 주어진다.

다음 공식이 성립한다.

$(cf(x){)}^{\prime }=c{f}^{\prime }(x)$

$(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$

$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

• 도함수의 활용

미분가능한 함수 f에 대해 곡선 y=f(x)이 주어졌다고 하자. x=a에서 y=f(x)의 접선의 방정식은 다음과 같이 주어진다.

$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$

롤의 정리. $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분가능한 함수 f에 대해 $f(a)=f(b)$이면, $f^{\prime }(c)=0$인 $c\in (a,b)$가 존재한다.

평균값 정리. $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분가능한 함수 f에 대해

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$

인 $c\in (a,b)$가 존재한다.

함수의 증가와 감소, 극대와 극소. 그래프의 개형. 방정식과 부등식에 활용. 속도와 가속도.

다항함수의 적분법

• 부정적분

함수 f에 대해 F'(x)=f(x)를 만족하는 함수 F가 존재한다면 F를 f의 부정적분이라고 한다.

$y=x^n$ (단, n은 0 이상의 정수)의 부정적분은 다음과 같다.

$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}dx+C$ (단, C는 적분상수)

부정적분에 대해 다음 규칙이 성립한다:

$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$

$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

• 정적분

구분구적법, 정적분, 미적분학의 기본정리

• 정적분의 활용

넓이, 속도, 거리

참고문헌

• 교육과학기술부 (2011). 『교육과학기술부 고시 제 2011-361호』.