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정다면체(正多面體, Regular polyhedron)는 도형을 구성하는 면이 모두 정다각형이고 합동인 다면체다. 플라톤의 입체(Platonic solid)라고도 한다.

정다면체는 다음과 같은 성질을 가진다.

각 면을 둘러싸고 있는 모서리의 개수가 같다.
다면체에서 면을 하나 제거한 후 임의로 조작하면 평면그래프를 얻을 수 있다. 그러면 그 그래프의 면은 원래 다면체의 면의 수와 동일하다.
꼭짓점과 연결된 변의 개수는 동일하다. 그래프로 간주하면, 각 꼭짓점의 차수는 모두 같다.

종류

사실 정다면체는 다섯 가지밖에 없다. 입체가 되기 위해서는 한 꼭짓점에 도형이 3개 이상 모여야 하고^[1]그 꼭짓점에서 각도의 합이 360도 보다 작아야 하는데, 정육각형 이상부터는 이게 불가능하고, 정삼각형, 정사각형, 정오각형만이 정다면체를 만들 수 있다. 꼭짓점에서 각도의 합이 360도 미만인 경우는 정삼각형이 3개부터 5개^[2]까지 세 가지, 정사각형과 정오각형은 각각 3개^[3]까지만 모일 수 있어 총 5개가 된다.

이름	면의 모양	꼭짓점의 수	모서리의 수	면의 수	꼭짓점의 차수
정사면체	삼각형	4	6	4	3
정육면체	사각형	8	12	6	3
정팔면체	삼각형	6	12	8	4
정십이면체	오각형	20	30	12	3
정이십면체	삼각형	12	30	20	5

정다면체는 평면그래프이므로, 정다면체의 꼭짓점의 개수, 모서리의 개수, 면의 개수를 각각 $v,e,f$ 라 하면 $v-e+f=2$ 이다(오일러의 정리). 한편 그래프의 꼭짓점의 차수를 d라고 하면 모든 꼭짓점의 차수의 합이 모서리의 수의 두 배이므로 $vd=2e$ 이고 정다면체를 이루는 정다각형이 n다각형이면 $nf=2e$ 이다. 식을 잘 조작하면

{\frac {1}{d}}+{\frac {1}{n}}={\frac {1}{e}}+{\frac {1}{2}}

을 얻는다. 한편 $n\geq 3,d\geq 3$ 이면서 동시에 ${\frac {1}{d}}+{\frac {1}{n}}>{\frac {1}{2}}$ 이어야 하므로 d와 n 둘 모두 6보다 작다.

$n=3$ 일 때, ${\frac {1}{d}}-{\frac {1}{e}}={\frac {1}{6}}$ 을 만족하는 (d,e)는 $(3,6),(4,12),(5,30)$ 이다.
$n=4$ 일 때, ${\frac {1}{d}}-{\frac {1}{e}}={\frac {1}{4}}$ 을 만족하는 (d,e)는 $(3,12)$ 이다.
$n=5$ 일 때, ${\frac {1}{d}}-{\frac {1}{e}}={\frac {3}{10}}$ 을 만족하는 (d,e)는 $(3,30)$ 이다.