체 F와 α 1 , α 2 , ⋯ , α m ∈ F {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{m}\in F} 에 대해, m × n {\displaystyle m\times n} 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix) V는 다음 꼴로 나타나는 행렬이다.
V = [ 1 α 1 α 1 2 ⋯ α 1 n − 1 1 α 2 α 2 2 ⋯ α 2 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 α m α m 2 ⋯ α m n − 1 ] {\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\cdots &\alpha _{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\cdots &\alpha _{m}^{n-1}\end{bmatrix}}}
V의 전치행렬을 방데르몽드 행렬로 정의하기도 한다.
V와 그 역행렬의 곱이 항등행렬이므로, 다음 식이 성립한다.
∑ k = 1 n α i k − 1 β k j = δ i j {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\alpha _{i}^{k-1}\beta _{kj}=\delta _{ij}}
이때, δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 는 크로네커 델타이다. 다항식 P j ( x ) {\displaystyle P_{j}(x)} 를
P j ( x ) = ∑ k = 1 n β k j x k − 1 {\displaystyle P_{j}(x)=\sum _{k=1}^{n}\beta _{kj}x^{k-1}}
로 정의하면 P j ( α i ) = ∑ k = 1 β k j α i k − 1 = δ i j {\displaystyle \displaystyle P_{j}(\alpha _{i})=\sum _{k=1}\beta _{kj}\alpha _{i}^{k-1}=\delta _{ij}} 이다. 라그랑주 보간법에 의해,
P j ( x ) = ∑ i = 1 n δ i j L i ( x ) = L j ( x ) = ∏ 1 ≤ k ≤ n k ≠ j x − α k α j − α k {\displaystyle {\begin{aligned}P_{j}(x)&=\sum _{i=1}^{n}\delta _{ij}L_{i}(x)\\&=L_{j}(x)\\&=\prod _{1\leq k\leq n \atop k\neq j}{\frac {x-\alpha _{k}}{\alpha _{j}-\alpha _{k}}}\end{aligned}}}
이다. 이때 L j ( x ) {\displaystyle L_{j}(x)} 는 라그랑주 기저 다항식이다. 계수비교를 통해
β k j = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i n − k ≤ n ∏ j = 1 n − k ( − α i j ) ∏ 1 ≤ m ≤ n k ≠ j ( α j − α m ) = ( − 1 ) n − k ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i n − k ≤ n ∏ j = 1 n − k α i j ( − 1 ) n − 1 ∏ 1 ≤ m ≤ n m ≠ j ( α m − α j ) = ( − 1 ) k − 1 S n − k ( α 1 , ⋯ , α j − 1 , α j + 1 , ⋯ , α n ) ∏ 1 ≤ m ≤ n k ≠ j ( α m − α j ) {\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{kj}&={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{n-k}\leq n}\prod _{j=1}^{n-k}(-\alpha _{i_{j}})}{\displaystyle \prod _{1\leq m\leq n \atop k\neq j}(\alpha _{j}-\alpha _{m})}}\\&={\frac {\displaystyle (-1)^{n-k}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{n-k}\leq n}\prod _{j=1}^{n-k}\alpha _{i_{j}}}{\displaystyle (-1)^{n-1}\prod _{1\leq m\leq n \atop m\neq j}(\alpha _{m}-\alpha _{j})}}\\&={\frac {\displaystyle (-1)^{k-1}S_{n-k}(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{j-1},\alpha _{j+1},\cdots ,\alpha _{n})}{\displaystyle \prod _{1\leq m\leq n \atop k\neq j}(\alpha _{m}-\alpha _{j})}}\end{aligned}}}
임을 안다. k를 i로 바꾸면 원하는 결과를 얻는다.
는 크로네커 델타이다. 다항식 
를
이다. 라그랑주 보간법에 의해,
는 라그랑주 기저 다항식이다. 계수비교를 통해
![{\displaystyle V^{-1}=[\beta _{ij}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ce7e0d37f20f2675e038af153ce8be4617fa65)
