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'''방데르몽드 행렬식'''(Vandermonde determinant) 또는 '''방데르몽드 다항식'''(Vandermonde polynomial)은 정사각행렬인 [[방데르몽드 행렬]]의 [[행렬식]]이다. == 계산 == <math>n\times n</math> 방데르몽드 행렬 <math>V_n=\begin{bmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}\end{bmatrix}</math> 에 대해 <math>\det(V_n)=\prod_{1\le j < i \le n}(\alpha_i-\alpha_j)</math> 이다. === 증명 === ''V<sub>n</sub>''의 행렬식 <math>\det(V_n)=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}\end{vmatrix} </math> 의 <math>2,3,\dots,n</math>행에서 1행을 빼는 [[기본행연산]]을 수행하면, <math>\det(V_n)=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\0 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2^2 -\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1}-\alpha_1^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n^2-\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}-\alpha_1^{n-1}\end{vmatrix} </math> 을 얻는다. <math>j\in\{1,2,\dots,n-1\}</math>에 대해, (j+1)열에서 j항의 <math>\alpha_1</math>배를 빼는 [[기본열연산]]을 내림차순으로 수행하면, <math>\begin{align}\det(V_n)&=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \cdots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1) \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \cdots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\end{vmatrix}\\ &=\prod_{i=2}^n (\alpha_i -\alpha_1) \begin{vmatrix} 1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_2^{n-2} \\ 1 & \alpha_3 & \cdots &\alpha_3^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \alpha_n & \cdots & \alpha_n^{n-2} \end{vmatrix}\end{align} </math> 위의 계산과정을 반복하면, <math>\det(V_n)= \prod_{k=1}^{n-1}\left(\prod_{i=k+1}^n (\alpha_i-\alpha_k)\right) =\prod_{1\le j < i \le n}(\alpha_i-\alpha_j)</math> 을 얻는다. == 같이 보기 == * [[판별식]] == 외부 고리 == * [https://www.proofwiki.org/wiki/Vandermonde_Determinant Vandermonde Determinant(Proofwiki)] [[분류:분야/수학]]
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