정의
정의 1. 함수 이 주어졌을 때, 임의의 에 대해 가 존재해 임의의 서로소인 유한집합족
에 대해
이면 에서 절대연속(absolutely continuous)이라고 한다.
성질
- 함수 가 절대연속이면 에서 유계변동이고 립쉬츠 연속이다.
- 함수 가 절대연속이면 미분계수가 거의 어디서나 존재한다.
- 함수 가 절대연속이면 , , , 은 모두 절대연속이다.
- 함수 이 절대연속이고 거의 어디서나 이면 는 상수함수이다.
예시
예 2. 는 에서 절대연속이 아니다.
예 3. 는 에서 절대연속이다.
예 4. 일반적으로 양수 가 주어졌을 때 는 일 때 에서 절대연속이지만 이면 절대연속이 아니다.
예 5. 는 에서 립쉬츠 연속이 아니지만 절대연속이다.
예 6. 는 에서 절대연속이 아니다. 이때 는 칸토어 함수이다.