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[[점화식]] <math>F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,\quad F_0=0,F_1=1</math> 으로 정의되는 수열을 '''피보나치 수열'''(Fibonacci sequence)이라 하고, 피보나치 수열의 항을 '''피보나치 수'''(Fibonacci number)라고 한다. 피보나치 수의 일부를 작은 순서대로 나타내면 다음과 같다. : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169 ([[oeis:A000045]]) [[1202년]] [[레오나르도 피보나치]]가 이 수열을 기록하였다. == 일반항 == 피보나치 수열의 일반항은 <math>F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n -\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)</math> 으로 나타낼 수 있다. 피보나치 수열의 점화식은 [[선형점화식]]으로, 피보나치 수열의 특성방정식 <math>x^2-x-1=0</math> 의 근은 <math>x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> 또는 <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>이다. 이때 <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>는 [[황금비]]이다. 따라서 <math>F_n = c_1 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n +c_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n</math> 인데, <math>F_0=0,F_1=1</math>이므로 [[일차연립방정식]] <math>\begin{cases} 0&=c_1+c_2\\ 1&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}c_1 + \frac{1-\sqrt{5}}{2}c_2 \end{cases}</math> 을 얻는다. 연립방정식을 풀어 <math>c_1=\frac{1}{\sqrt{5}},c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}</math> 를 얻는다. == 항등식 == * <math>F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2 = (-1)^n</math> ([[카시니의 항등식]]) == 같이 보기 == * [[Fibonacci Quarterly]] [[분류:성격/수열]] [[분류:분야/수학]]
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