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르베그 측도
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== 정의 == 임의의 [[집합]] <math>E\subset\mathbb{R}</math>에 대해 <math>m^*(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}|a_i-b_i|:a_i,b_i\in\mathbb{R}, E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}(a_i,b_i) \right\}</math> 을 [[외측도]]라고 정의했다. <math>E</math>가 주어졌을 때, 임의의 집합 <math>A</math>에 대해 <math>m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)</math> 이면 <math>E</math>는 '''르베그 가측가능'''(Lebesgue measurable), 또는 간단히 '''가측가능'''하다고 한다. <math>\mathcal{M}</math>을 모든 가측집합의 모임이라 할 때, [[함수]] <math>m:\mathcal{M}\to\mathbb{R}</math>을 <math>m(E)=m^*(E)</math>로 정의하면, <math>m</math>을 '''르베그 측도함수'''(Lebesgue measure function)라 하고, <math>m(E)</math>를 <math>E</math>의 '''르베그 측도'''(Lebesgue measure) 또는 간단히 '''측도'''(measure)라고 한다. == 예시 == * <math>\emptyset,\mathbb{R}</math>은 가측집합이다. * 가산집합은 가측집합이고 그 측도는 [[영]]이다. * 외측도가 0인 집합은 가측집합이다. * [[칸토어 집합]]의 측도는 0이고 가측집합이다. * 임의의 [[보렐 집합]]은 가측집합이다. == 성질 == {{math theorem|<math>E,E'</math>가 가측집합일 때, 다음 집합은 가측집합이다. * <math>E^c</math> ([[여집합]]) * <math>E \cup E'</math> ([[합집합]]) * <math>E \cap E'</math> ([[교집합]]) * <math>E \setminus E'</math> ([[차집합]]) * <math>E \Delta E'</math> ([[대칭차집합]])}} {{math theorem|<math>E_1,\dots,E_n</math>이 [[서로소]]인 가측집합이면 <math>m\left(\bigcup_{i=1}^n E_i \right)=\sum_{i=1}^n m(E_i)</math>이다.}} {{math theorem|<math>\{E_i\}</math>가 서로소인 가측집합렬일 때, <math>\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i</math>는 가측집합이고 <math>m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty} m(E_i)</math>이다.}} {{math theorem|<math>E</math>가 가측집합이면 임의의 <math>y\in\mathbb{R}</math>에 대해 <math>E+y</math>는 가측집합이고 <math>m(E+y)=m(E)</math>이다.}} [[분류:분야/수학]]
이 문서에서 사용한 틀:
틀:Math theorem
(
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