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페미위키:포크 프로젝트/리브레 위키/이중선형형식 문서 원본 보기
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페미위키:포크 프로젝트/리브레 위키/이중선형형식
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== 정의 == <math>U,V</math>를 [[체 (수학)|체]] ''F'' 위에서 정의된 [[벡터공간]]이라 하자. [[함수]] <math>f:U\times V\to F</math>가 다음 성질 * <math>f(a_1\mathbf{u}_1+a_2\mathbf{u}_2,\mathbf{v})=a_1 f(\mathbf{u}_1,\mathbf{v})+a_2 f(\mathbf{u}_2,\mathbf{v})</math> * <math>f(\mathbf{u},b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2)=b_1 f(\mathbf{u},\mathbf{v}_1)+b_2 f(\mathbf{u},\mathbf{v}_2)</math> 을 만족하면, ''f''를 ''U''와 ''V'' 위의 '''이중선형형식(Bilinear form)'''이라고 한다. 벡터공간 <math>U,V</math>의 기저를 각각 <math>B_1=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_m\}</math>, <math>B_2=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}</math>이라 하고, ''f''를 ''U''와 ''V''의 이중선형형식이라 하자. 그러면 : <math>a_{ij}=f(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j)</math> 를 성분으로 가지는 m×n [[행렬]] <math>A=[a_{ij}]</math>를 <math>B_1,B_2</math>에 관한 ''f''의 행렬이라고 한다. : <math>X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m \end{bmatrix}, Y=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}</math> 를 각각 <math>\mathbf{u}\in U,\mathbf{v}\in V</math>의 좌표행렬(coordinate matrix)이라고 하자. 그러면 ''A''가 ''U''와 ''V''의 이중선형형식 ''f''를 나타내는 행렬일 필요충분조건은 임의의 <math>\mathbf{u}\in U,\mathbf{v}\in V</math>에 대해 : <math>f(\mathbf{u},\mathbf{v})=X^T AY</math> 인 것이다. == 성질 == <math>f,g</math>를 체 ''F'' 위의 벡터공간 <math>U,V</math> 위의 이중선형형식이라고 하자. 이중선형형식의 합과 곱을 다음과 같이 정의하자. * <math>(f+g)(\mathbf{u},\mathbf{v})=f(\mathbf{u},\mathbf{v})+g(\mathbf{u},\mathbf{v})</math> * <math>(cf)(\mathbf{u},\mathbf{v})=c\cdot f(\mathbf{u},\mathbf{v})</math> (단, <math>c\in F</math>) 그러면 <math>U,V</math> 위의 모든 이중선형형식들의 집합은 벡터공간이다. [[분류:선형대수학]]
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