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정의

$U,V$를 체 F 위에서 정의된 벡터공간이라 하자. 함수 $f:U\times V\to F$가 다음 성질

• $f(a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2},\mathbf {v} )=a_{1}f(\mathbf {u} _{1},\mathbf {v} )+a_{2}f(\mathbf {u} _{2},\mathbf {v} )$
• $f(\mathbf {u} ,b_{1}\mathbf {v} _{1}+b_{2}\mathbf {v} _{2})=b_{1}f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} _{1})+b_{2}f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} _{2})$

을 만족하면, f를 U와 V 위의 이중선형형식(Bilinear form)이라고 한다.

벡터공간 $U,V$의 기저를 각각 $B_{1}=\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\cdots ,\mathbf {u} _{m}\}$, $B_{2}=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots ,\mathbf {v} _{n}\}$이라 하고, f를 U와 V의 이중선형형식이라 하자. 그러면

$a_{ij}=f(\mathbf {u} _{i},\mathbf {v} _{j})$

를 성분으로 가지는 m×n 행렬 $A=[a_{ij}]$를 $B_{1},B_{2}$에 관한 f의 행렬이라고 한다.

$X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}$

를 각각 $\mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V$의 좌표행렬(coordinate matrix)이라고 하자. 그러면 A가 U와 V의 이중선형형식 f를 나타내는 행렬일 필요충분조건은 임의의 $\mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V$에 대해

$f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=X^{T}AY$

인 것이다.

성질

$f,g$를 체 F 위의 벡터공간 $U,V$ 위의 이중선형형식이라고 하자. 이중선형형식의 합과 곱을 다음과 같이 정의하자.

• $(f+g)(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )+g(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$
• $(cf)(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=c\cdot f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$ (단, $c\in F$)

그러면 $U,V$ 위의 모든 이중선형형식들의 집합은 벡터공간이다.