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== 정의 == [[위상공간]] <math>X</math>의 임의의 서로 다른 점 <math>a,b\in X</math>에 대해 [[서로소]]인 열린집합 <math>U,V</math>가 존재해 <math>a\in U,b\in V</math>이면 <math>X</math>를 '''하우스도르프 공간'''(Hausdorff space), 또는 '''<math>T_2</math> 공간'''(<math>T_2</math>-space)이라고 한다. {{math theorem|다음 명제는 모두 [[동등]]하다. * <math>(X,\mathcal{T})</math>는 하우스도르프 공간이다. * <math>p\in X</math>가 주어졌을 때, 임의의 <math>q\ne p</math>에 대해 <math>p</math>를 포함하고 <math>q\notin \overline{U}</math>인 [[열린집합]] <math>U</math>가 존재한다. * 임의의 <math>p\in X</math>에 대해 <math>\bigcap \{\overline{U}:p\in U,\text{$U$ is open}\}=\{p\}</math>이다. * 대각(diagonal) <math>\Delta = \{(x,x)\in X\times X: x\in X\}</math>는 <math>X\times X</math>의 [[닫힌집합]]이다.}} == 예시 == {{math theorem|name=Example|임의의 [[거리공간]]은 하우스도르프 공간이다.}} {{math theorem|name=Non-Example|[[쌍대유한위상]]이 주어진 실수선은 하우스도르프 공간이 아니다.}} {{math theorem|name=Non-Example|[[자명위상]]이 주어지고 원소의 개수가 두 개 이상인 위상공간은 하우스도르프 공간이 아니다.}} == 성질 == {{math theorem|하우스도르프 성질은 [[위상적 성질]]이다.}} {{math theorem|하우스도르프 성질은 [[계승적 성질]]이다.}} {{math theorem|하우스도르프 공간에서 정의된 수열이 수렴하면 그 극한값은 유일하다.}} {{math theorem|하우스도르프 공간의 [[곱공간]]은 하우스도르프 공간이다.}} [[분류:분야/수학]]
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틀:Math theorem
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