베르누이의 부등식은 실수해석학에서 다루는 부등식으로, 다른 부등식의 증명 과정 중 어려운 부분이 있을 때 자주 쓰인다.
진술
증명
여러 가지 방법으로 베르누이 부등식을 증명할 수 있다.
수학적 귀납법을 이용
일 때
이므로 부등식이 성립한다.
일 때 부등식이 성립한다고 가정하자. 그러면
이므로
일 때 부등식이 성립한다.
따라서 수학적 귀납법에 의해 원하는 결론을 얻는다.
산술-기하평균 부등식을 이용
이면
임은 자명하다.
이면
이므로, 산술-기하평균 부등식에 의해
이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
이항정리를 이용
일반화
정리 1. 임의의
에 대해,
이거나
이면
이다.
이면
이다.[1]:101, Theorem A
정리 2.
- 임의의
에 대해
이며
이라면,
이다.
- 임의의
에 대해
또는
이고,
또는
이면,
이다.[1]:101, Theorem B
참고 문헌