정의
정의 1.
를 집합
의 부분집합이라 하자. 자기사상
가 다음 조건
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![{\displaystyle {\mathsf {k}}\emptyset =\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121e8e5ad1a15a205b3634bec9e36379c82ee6a7)
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(1)
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![{\displaystyle A\subset {\mathsf {k}}A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ec785426a3f3557bbdfb0856069ab5e768217a)
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(2)
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![{\displaystyle {\mathsf {k}}A={\mathsf {kk}}A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89ba64fbd20ab77090a38633a3ec4177d9a2563)
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(3)
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![{\displaystyle {\mathsf {k}}(A\cup B)={\mathsf {k}}A\cup {\mathsf {k}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc0bf8d8305d820d63017570d6af905fbeeeb43)
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(4)
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를 만족하면
를
위의 쿠라토프스키 폐포연산자(Kuratowski closure operator)라고 한다.
위상공간의 구성
쿠라토프스키 폐포연산자를 이용하여 집합에 위상을 부여할 수 있다.
정의 2.
위의 쿠라토프스키 폐포연산자
가 정의되었을 때,
의 부분집합
에 대해
이면
가 c-닫힌 집합이라고 한다. 만약
가 c-닫힌 집합이면
를 c-열린 집합이라고 한다.
정리 3.
과
는 c-닫혀 있다.
보조정리 4.
의 임의의 부분집합
에 대해
이면
이다.
Proof
(4)에 의해,
이므로 원하는 결론을 얻는다.
정리 5. 임의의 c-닫힌 집합의 교집합은 c-닫혀 있다.
Proof
의 c-닫힌 집합을
라 하면, (2)에 의해
임은 자명하다. 한편 임의의
에 대해
이므로 보조정리 4에 의해
이므로
이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
정리 6. 임의의 유한 개 c-닫힌 집합의 합집합은 c-닫혀 있다.
정리 3, 5, 6으로부터
의 모든 c-열린 집합의 모임이
의 위상이 됨을 알 수 있다.
같이 보기