감마 함수

이상적분으로 정의된 함수

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt,\quad x>0$

를 감마함수(Gamma function)라고 한다.

성질

부분적분법을 이용하면

${\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}dt\\&=[-t^{x}e^{-t}]_{0}^{\infty }+x\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt\\&=x\Gamma (x)\end{aligned}}$

임을 안다. 이 성질은 감마함수의 정의역을 0 이하의 정수가 아닌 복소수로 확장할 때 사용된다. 감마함수의 정의역을 자연수로 국한시키면 계승(팩토리얼)이 된다.

$\Gamma (n)=(n-1)!$

한편,

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t}}}e^{-t}dt$

인데, $u={\sqrt {t}}$로 두면

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t}}}e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }2e^{-u^{2}}du={\sqrt {\pi }}$

이다. 따라서

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

를 얻는다. 이외에 다음 식이 성립한다.

$\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{4}^{-k}{\frac {\left(2k\right)!}{k!}}$, ($k$가 자연수일때)

$\Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin \pi x}}$

같이 보기

• 베타함수