감마 함수

Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} e^{- t} d t, x > 0

를 감마함수(Gamma function)라고 한다.

성질

부분적분법을 이용하면

\begin{matrix} Γ (x + 1) & = \int_{0}^{\infty} t^{x} e^{- t} d t \\ = [- t^{x} e^{- t}]_{0}^{\infty} + x \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} e^{- t} d t \\ = x Γ (x) \end{matrix}

임을 안다. 이 성질은 감마함수의 정의역을 0 이하의 정수가 아닌 복소수로 확장할 때 사용된다. 감마함수의 정의역을 자연수로 국한시키면 계승(팩토리얼)이 된다.

Γ (n) = (n - 1)!

한편,

Γ (\frac{1}{2}) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{t}} e^{- t} d t

인데, $u = \sqrt{t}$ 로 두면

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{t}} e^{- t} d t = \int_{0}^{\infty} 2 e^{- u^{2}} d u = \sqrt{π}

이다. 따라서

Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}

를 얻는다. 이외에 다음 식이 성립한다.

Γ (k + \frac{1}{2}) = \sqrt{π} 4^{- k} \frac{(2 k)!}{k!}

, (

k

가 자연수일때)

Γ (x) Γ (1 - x) = \frac{π}{\sin π x}