다변수함수
에 대한 편미분방정식
를 라플라스 방정식(Laplace equation)이라 하고, 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 조화함수(Harmonic function)라고 한다.
공식
3차원 좌표계[1]
- 직각좌표계:
![{\displaystyle \psi =\psi (x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bcfc7ea21ffb374985640779e75a3b33817411)
- 원통좌표계:
![{\displaystyle \psi =\psi (r,\phi ,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8dfce6824af2d5b1f9346303c1a81829e38364e)
- 구면좌표계:
![{\displaystyle \psi =\psi (r,\theta ,\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c18acbaaf6d0973787d119bb00d7d392d32552)
2차원 좌표계
- 직각좌표계:
![{\displaystyle \psi =\psi (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2563b4c6055390f237503373bfde4fd23513ed3e)
- 극좌표계:
![{\displaystyle \psi =\psi (r,\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200ed9049de1e237b9c5a5491b94a46db5d8635f)
방정식의 일반해
2차원 직각좌표계
라플라스 방정식
을 변수분리법으로 풀자. 함수
에 대해
라고 가정하자. 그러면 라플라스 방정식은
로 주어진다. 양변을
로 나누면
를 얻는다. 그러면
인
가 존재한다. 따라서 다음 이계미분방정식을 얻는다.
이면,
인
가 존재한다. 따라서 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. (단,
는 상수)
![{\displaystyle X(x)=A\cosh \lambda x+B\sinh \lambda x,\quad Y(y)=C\cos \lambda y+D\sin \lambda y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06aebd8eacdeef6c7bd163363b4852cad3c17936)
이면
이므로 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bada6b9bf4703400eb39a93ba8af9154d8458d85)
이면
일 때와 비슷한 방법으로 미분방정식의 해를 구할 수 있다.
경계값 문제
에서 경계값 문제
를 만족하는 영이 아닌 함수
를 구하자.
일 경우,
이다.
인데
이면
이므로
이다.
인데
이면
이므로
이다.
인데
또는
이다. 어느 경우든
또는
이므로
일 수 없다.
일 경우,
이다.
인데
이면
이므로
이다.
인데
이면
이므로
이다.
인데
또는
이다. 어느 경우라도
또는
이므로
일 수 없다.
일 경우,
이다.
인데
이면
이므로
이다.
인데,
이면
이므로
이다.
이므로
또는
또는
이다. 따라서 자연수 n에 대해
이다. 따라서
는 경계값 문제의 해이다.
이제
를 상수
에 대해
로 나타낼 수 있다. 그러면
인데,
이고 양변을 0에서 b까지 정적분하면
를 얻는다.[2]
등장 시점
열확산방정식
열 T에 대해, 시간에 따른 열방정식은
으로 주어진다. 만약 정상 상태에 있을 경우,
이므로
이 되어 라플라스 방정식을 얻는다.[3]
같이 보기
참고문헌
- ↑ Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion (2011). 강석태 옮김. 『일반역학』(제5판). Cengage Learning. pp. 678-681. ISBN 9788962183009
- ↑ Braun, M. (1975). Differential equations and their applications: An introduction to applied mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387978941
- ↑ Stephen J. Blundell · Katherine M. Blundell (2010). Concepts in Thermal Physics (2nd ed.) Oxford University Press. ISBN 9780199562107