T1 공간

정의

위상공간 $X$의 임의의 서로 다른 점 $a,b\in X$에 대해 열린집합 $U,V$가 존재해 $a\in U,b\notin U,b\in V,a\notin V$이면 $X$를 $T_{1}$ 공간($T_{1}$-space)이라 한다.

Theorem — 다음 명제는 모두 동등하다.

• $(X,{\mathcal {T}})$는 $T_{1}$ 공간이다.
• $X$의 한원소집합은 닫힌집합이다.
• ${\mathcal {T}}$는 $X$의 쌍대유한위상을 포함한다.

예시

Example — 쌍대유한위상이 주어진 실수선은 $T_{1}$ 공간이다.

Non-Example — 시에르핀스키 공간은 $T_{1}$ 공간이 아니다.

성질

Theorem — $T_{1}$ 성질은 위상적 성질이다.

Theorem — $T_{1}$ 성질은 계승적 성질이다.

Theorem — $T_{1}$ 공간의 곱공간은 $T_{1}$ 공간이다.