연결공간

정의

위상공간 $X$가 공집합이 아니고 서로소인 두 열린집합의 합집합이면 $X$를 비연결공간(disconnected space)이라고 한다. 비연결공간이 아닌 공간을 연결공간(connected space)이라고 한다.

Theorem — 다음 명제는 모두 동등하다.

• $X$는 비연결공간이다.
• $X$는 서로소이고 공집합이 아닌 두 닫힌집합의 합집합이다.
• $X$는 두 분리된 집합의 합집합이다.
• $X$가 정의역이고 이산공간 $\{a,b\}$가 치역인 위로의 연속함수가 존재한다.
• $X$의 열리고 닫힌 진부분집합이 존재한다.
• ${\overline {A}}\cap {\overline {X\setminus A}}=\emptyset$인 $X$의 진부분집합 $A$가 존재한다.

예시

Example — 다음은 연결공간의 예시이다.

• $\mathbb {R}$은 연결공간이다.
• 임의의 비이산공간은 연결공간이다.

Non-Example — 다음은 비연결공간의 예시이다.

• 원소의 개수가 둘 이상인 이산공간은 비연결공간이다.
• $\mathbb {R}$의 부분공간인 $\mathbb {Q}$는 비연결공간이다.

성질

Theorem — 연결성은 위상적 성질이다.