축약가능공간

위상공간 $X$와 $x_{0}\in X$에 대해 연속함수 $F:X\times I\to X$가 존재해

$F(x,0)=x,\quad F(x,1)=x_{0},\quad F(x_{0},s)=x_{0}$

$x_{0}$로 축약가능(contractible to a point $x_{0}$)하다고 한다. $X$가 모든 점으로 축약가능하면, $X$를 축약가능공간(contractible space)이라 한다.

Theorem — 다음 명제는 동등하다.

• $X$는 축약가능공간이다.
• 항등사상 $\mathbf {1} :X\to X$이 영호모토픽이다.
• 임의의 연속함수 $f:Y\to X$가 영호모토픽이다.

예시

Theorem — 다음 공간은 축약가능공간이다.

• $\mathbb {R} ^{n}$의 볼록집합은 축약가능공간이다.
• $p\in S^{n}$이면 $S^{n}\setminus \{p\}$는 축약가능공간이다.
• 위상수학자의 빗은 축약가능공간이다.

성질

Theorem — 임의의 축약가능공간은 단순연결공간이다.