파투의 보조정리

실수계의 진술

파투의 보조정리(Fatou's Lemma) — $E\subset \mathbb {R}$를 가측집합이라 하자. $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$이 음이 아닌 가측함수 $f_{n}:E\to \mathbb {R}$들의 함수열이고 $E$에서 $f$에 거의 어디서나 수렴하면, 다음 부등식이 성립한다:

$\int _{E}f\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}.$

증명

Proof

(증명을 적어주세요.)

순부등식이 성립하는 예

Example — (예시)

극한함수를 배제한 일반화

Theorem — $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$이 음이 아닌 가측실함수들의 함수열이면 다음 부등식이 성립한다:

$\int _{E}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}.$