쿠라토프스키의 폐포-여집합 문제

진술

Question — 한 집합에 폐포와 여집합 연산을 사용해 만들 수 있는 서로 다른 집합의 개수는 얼마인가?

정의 1. 위상공간 $X$ 에 대해, ${\mathsf {k}},{\mathsf {c}}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ 를 다음과 같이 정의하자.

{\mathsf {k}}A={\overline {A}},\quad {\mathsf {c}}A=X\setminus A

이때 ${\overline {A}}$ 는 $A$ 의 폐포이다.

명제 2. ${\mathsf {kk}}A={\mathsf {k}}A,\quad {\mathsf {cc}}A=A$ 이다.

Proof

자명하다(폐포, 여집합 문서를 참고하라).

정의 3. 위상공간 $X$ 에 대해, ${\mathsf {i}}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ 를 다음과 같이 정의하자.

{\mathsf {i}}A=\operatorname {int} A

이때 $\operatorname {int} A$ 는 $A$ 의 내부이다.

명제 4. ${\mathsf {kiki}}={\mathsf {ki}}$ 이다.

Proof

명제 5. ${\mathsf {i}}={\mathsf {ckc}}$ 이다.

Proof

명제 6. ${\mathsf {kckckckc}}={\mathsf {kckc}}$ 이다.

Proof

명제 4와 5로부터 유도된다.

(-\infty ,1)\cup (1,2)\cup ((2,4)\cap (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ))\cup \{5\}