쿠라토프스키의 폐포-여집합 문제

진술

Question — 한 집합에 폐포와 여집합 연산을 사용해 만들 수 있는 서로 다른 집합의 개수는 얼마인가?

풀이

정의 1. 위상공간 $X$ 에 대해, ${\mathsf {k}},{\mathsf {c}}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ 를 다음과 같이 정의하자.

{\mathsf {k}}A={\overline {A}},\quad {\mathsf {c}}A=X\setminus A

이때 ${\overline {A}}$ 는 $A$ 의 폐포이다.

명제 2. ${\mathsf {kk}}={\mathsf {k}},\quad {\mathsf {cc}}=\epsilon .$ 이때 $\epsilon :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ 는 $\epsilon A=A$ 로 정의된다.

Proof

자명하다(폐포, 여집합 문서를 참고하라).

정의 3. 위상공간 $X$ 에 대해, ${\mathsf {i}}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ 를 다음과 같이 정의하자.

{\mathsf {i}}A=\operatorname {int} A

이때 $\operatorname {int} A$ 는 $A$ 의 내부이다.

명제 4. ${\mathsf {ii}}={\mathsf {i}}.$

Proof

자명하다(내부 문서를 참고하라).

명제 5. ${\mathsf {kiki}}={\mathsf {ki}}.$

Proof

임의의 $A\subset X$ 에 대해 ${\mathsf {kiki}}A={\mathsf {ki}}A$ 임을 보이면 된다.

Claim 1. ${\mathsf {kiki}}A\subset {\mathsf {ki}}A.$

내부의 정의에 의해

{\mathsf {iki}}A\subset {\mathsf {ki}}A

이다. 그러면 명제 2에 의해

{\mathsf {kiki}}A\subset {\mathsf {kki}}A={\mathsf {ki}}A

을 얻는다.

Claim 2. ${\mathsf {kiki}}A\supset {\mathsf {ki}}A.$

폐포의 정의에 의해

{\mathsf {ki}}A\supset {\mathsf {i}}A

이므로, 명제 4에 의해

{\mathsf {iki}}A\supset {\mathsf {ii}}A={\mathsf {i}}A

이고 따라서

{\mathsf {kiki}}A\supset {\mathsf {ki}}A

이다.

명제 6. ${\mathsf {i}}={\mathsf {ckc}}.$

Proof

Claim. ${\mathsf {kc}}={\mathsf {ci}}.$

먼저 ${\mathsf {i}}A\subset A$ 이므로 ${\mathsf {c}}A\subset {\mathsf {ci}}A$ 이고, 따라서

{\mathsf {kc}}A\subset {\mathsf {kci}}A={\mathsf {ci}}A

이다. 이제 ${\mathsf {kc}}A\supset {\mathsf {ci}}A$ 임을 보이자. $x\in {\mathsf {ci}}A$ 를 하나 고르자. 그러면 $x\notin {\mathsf {i}}A$ 이므로, $x$ 를 포함하는 임의의 열린집합은 ${\mathsf {c}}A$ 의 원소를 적어도 하나 가지는데, 이는 곧 $x\in {\mathsf {kc}}A$ 를 의미한다. 따라서 ${\mathsf {ci}}A\subset {\mathsf {kc}}A$ 이다.