함수
을 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\0,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee016ecbce31c33b082b1d7069ae3d0fd8bca314)
그러면
가 유리수일 때
이고,
가 무리수일 때
이다. 이때
를 디리클레 함수(Dirichlet function)라고 한다. 즉, 디리클레 함수는
에서 정의된 지시함수
이다. 디리클레 함수를 다음과 같이 정의하기도 한다.
![{\displaystyle f(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a1e3c69ee5d0ba76c792ff2e5d3a759c5654c6)
연속성
Theorem — 디리클레 함수는 모든 점에서 불연속이다.
적분가능성
Theorem — 디리클레 함수는 구간
에서 리만 적분가능하지 않다.
Theorem — 디리클레 함수는 구간
에서 르베그 적분가능하다.
같이 보기