쿠라토프스키의 폐포-여집합 문제 (Kuratowski's closure-complement problem)는 한 집합에 폐포 와 여집합 을 취하여 서로 다른 집합을 몇 개까지 만들 수 있는지 묻는 문제이다. 1922년 카지미에시 쿠라토프스키 가 문제를 소개하였다.[1]
문제와 풀이
문제
Question — 한 집합에 폐포 와 여집합 연산을 사용해 만들 수 있는 서로 다른 집합의 개수는 얼마인가?
풀이
정의 1. 위상공간
X
{\displaystyle X}
에 대해,
k
,
c
:
P
(
X
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathsf {k}},{\mathsf {c}}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}
를 다음과 같이 정의하자.
k
A
=
A
¯
,
c
A
=
X
∖
A
{\displaystyle {\mathsf {k}}A={\overline {A}},\quad {\mathsf {c}}A=X\setminus A}
이때
A
¯
{\displaystyle {\overline {A}}}
는
A
{\displaystyle A}
의 폐포 이다.
명제 2.
k
k
=
k
,
c
c
=
ϵ
.
{\displaystyle {\mathsf {kk}}={\mathsf {k}},\quad {\mathsf {cc}}=\epsilon .}
이때
ϵ
:
P
(
X
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle \epsilon :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}
는
ϵ
A
=
A
{\displaystyle \epsilon A=A}
로 정의된다.
정의 3. 위상공간
X
{\displaystyle X}
에 대해,
i
:
P
(
X
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathsf {i}}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}
를 다음과 같이 정의하자.
i
A
=
int
A
{\displaystyle {\mathsf {i}}A=\operatorname {int} A}
이때
int
A
{\displaystyle \operatorname {int} A}
는
A
{\displaystyle A}
의 내부 이다.
명제 4.
i
i
=
i
.
{\displaystyle {\mathsf {ii}}={\mathsf {i}}.}
명제 5.
k
i
k
i
=
k
i
.
{\displaystyle {\mathsf {kiki}}={\mathsf {ki}}.}
Proof
임의의
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X}
에 대해
k
i
k
i
A
=
k
i
A
{\displaystyle {\mathsf {kiki}}A={\mathsf {ki}}A}
임을 보이면 된다.
Claim 1.
k
i
k
i
A
⊂
k
i
A
.
{\displaystyle {\mathsf {kiki}}A\subset {\mathsf {ki}}A.}
내부의 정의에 의해
i
k
i
A
⊂
k
i
A
{\displaystyle {\mathsf {iki}}A\subset {\mathsf {ki}}A}
이다. 그러면 명제 2 에 의해
k
i
k
i
A
⊂
k
k
i
A
=
k
i
A
{\displaystyle {\mathsf {kiki}}A\subset {\mathsf {kki}}A={\mathsf {ki}}A}
을 얻는다.
Claim 2.
k
i
k
i
A
⊃
k
i
A
.
{\displaystyle {\mathsf {kiki}}A\supset {\mathsf {ki}}A.}
폐포의 정의에 의해
k
i
A
⊃
i
A
{\displaystyle {\mathsf {ki}}A\supset {\mathsf {i}}A}
이므로, 명제 4 에 의해
i
k
i
A
⊃
i
i
A
=
i
A
{\displaystyle {\mathsf {iki}}A\supset {\mathsf {ii}}A={\mathsf {i}}A}
이고 따라서
k
i
k
i
A
⊃
k
i
A
{\displaystyle {\mathsf {kiki}}A\supset {\mathsf {ki}}A}
이다.
명제 6.
i
=
c
k
c
.
{\displaystyle {\mathsf {i}}={\mathsf {ckc}}.}
명제 7.
k
c
k
c
k
c
k
c
=
k
c
k
c
.
{\displaystyle {\mathsf {kckckckc}}={\mathsf {kckc}}.}
Proof
명제 5 와 6 에 의해,
k
c
k
c
k
c
k
c
=
k
i
k
i
=
k
i
=
k
c
k
c
.
{\displaystyle {\mathsf {kckckckc}}={\mathsf {kiki}}={\mathsf {ki}}={\mathsf {kckc}}.}
명제 8.
k
c
k
c
k
c
k
=
k
c
k
.
{\displaystyle {\mathsf {kckckck}}={\mathsf {kck}}.}
Proof
명제 2 와 7 에 의해,
k
c
k
c
k
c
k
=
k
c
k
c
k
c
k
c
c
=
k
c
k
c
c
=
k
c
k
.
{\displaystyle {\mathsf {kckckck}}={\mathsf {kckckckcc}}={\mathsf {kckcc}}={\mathsf {kck}}.}
명제 9.
k
,
c
{\displaystyle {\mathsf {k}},{\mathsf {c}}}
의 임의의 유한 번 합성을 모은 집합의 원소의 개수는 14를 넘지 않는다.
Proof
명제 2 에 의해,
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
을 제외한
k
,
c
{\displaystyle {\mathsf {k}},{\mathsf {c}}}
의 임의의 유한 번 합성은 다음 꼴 중 하나이다:
k
(
c
k
…
c
k
)
{\displaystyle {\mathsf {k(ck}}\dots {\mathsf {ck)}}}
(1 )
k
c
…
k
c
{\displaystyle {\mathsf {kc}}\dots {\mathsf {kc}}}
(2 )
c
k
…
c
k
{\displaystyle {\mathsf {ck}}\dots {\mathsf {ck}}}
(3 )
c
(
k
c
…
k
c
)
{\displaystyle {\mathsf {c(kc}}\dots {\mathsf {kc)}}}
(4 )
그런데 명제 7 , 8 에서
k
c
k
c
k
c
k
c
=
k
c
k
c
{\displaystyle {\mathsf {kckckckc}}={\mathsf {kckc}}}
이고
k
c
k
c
k
c
k
=
k
c
k
{\displaystyle {\mathsf {kckckck}}={\mathsf {kck}}}
이므로 (1) 은
k
,
k
c
k
,
k
c
k
c
k
{\displaystyle {\mathsf {k}},{\mathsf {kck}},{\mathsf {kckck}}}
중 하나이며, (2) 는
k
c
,
k
c
k
c
,
k
c
k
c
k
c
{\displaystyle {\mathsf {kc}},{\mathsf {kckc}},{\mathsf {kckckc}}}
중 하나이고, (3) 은
c
k
,
c
k
c
k
,
c
k
c
k
c
k
{\displaystyle {\mathsf {ck}},{\mathsf {ckck}},{\mathsf {ckckck}}}
중 하나이고, (4) 는
c
,
c
k
c
,
c
k
c
k
c
,
c
k
c
k
c
k
c
{\displaystyle {\mathsf {c}},{\mathsf {ckc}},{\mathsf {ckckc}},{\mathsf {ckckckc}}}
중 하나이다. 따라서
k
,
c
{\displaystyle {\mathsf {k}},{\mathsf {c}}}
의 임의의 유한 번 합성은
1
+
3
×
3
+
4
=
14
{\displaystyle 1+3\times 3+4=14}
개를 넘지 않는다.
명제 9 와 같은 방법으로 다음 명제를 증명할 수 있다.
명제 10.
k
,
i
{\displaystyle {\mathsf {k}},{\mathsf {i}}}
의 임의의 유한 번 합성을 모은 집합의 원소의 개수는 7을 넘지 않는다. 구체적으로 나열하면 다음과 같다.
{
ϵ
,
i
,
k
,
i
k
,
k
i
,
i
k
i
,
k
i
k
}
{\displaystyle \{\epsilon ,{\mathsf {i}},{\mathsf {k}},{\mathsf {ik}},{\mathsf {ki}},{\mathsf {iki}},{\mathsf {kik}}\}}
쿠라토프스키 14 집합
정의와 예시
명제 9 에서 한 집합에 폐포와 여집합 연산으로 만들어낼 수 있는 서로 다른 집합의 수가 14 이하임을 보였다. 그렇다면 폐포와 여집합 연산으로 만들어낼 수 있는 서로 다른 집합의 수가 14인 집합이 존재하는가? 답은 "예"이다.
예 11.
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
의 부분집합
A
=
(
−
∞
,
1
)
∪
(
1
,
2
)
∪
(
(
2
,
4
)
∩
(
R
∖
Q
)
)
∪
{
5
}
{\displaystyle A=(-\infty ,1)\cup (1,2)\cup ((2,4)\cap (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ))\cup \{5\}}
이 주어졌다고 하자. 이때
k
,
c
{\displaystyle {\mathsf {k}},{\mathsf {c}}}
의 유한 번 합성을 계산한 결과는 다음과 같다.[2]
집합
결과
집합
결과
A
{\displaystyle A}
(
−
∞
,
1
)
∪
(
1
,
2
)
∪
(
(
2
,
4
)
∩
(
R
∖
Q
)
)
∪
{
5
}
{\displaystyle (-\infty ,1)\cup (1,2)\cup ((2,4)\cap (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ))\cup \{5\}}
c
A
{\displaystyle {\mathsf {c}}A}
{
1
}
∪
{
2
}
∪
(
(
2
,
4
)
∩
Q
)
∪
[
4
,
5
)
∪
(
5
,
∞
)
{\displaystyle \{1\}\cup \{2\}\cup ((2,4)\cap \mathbb {Q} )\cup [4,5)\cup (5,\infty )}
k
A
{\displaystyle {\mathsf {k}}A}
(
−
∞
,
4
]
∪
{
5
}
{\displaystyle (-\infty ,4]\cup \{5\}}
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {kc}}A}
{
1
}
∪
[
2
,
∞
)
{\displaystyle \{1\}\cup [2,\infty )}
c
k
A
{\displaystyle {\mathsf {ck}}A}
(
4
,
5
)
∪
(
5
,
∞
)
{\displaystyle (4,5)\cup (5,\infty )}
c
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {ckc}}A}
(
−
∞
,
1
)
∪
(
1
,
2
)
{\displaystyle (-\infty ,1)\cup (1,2)}
k
c
k
A
{\displaystyle {\mathsf {kck}}A}
[
4
,
∞
)
{\displaystyle [4,\infty )}
k
c
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {kckc}}A}
(
−
∞
,
2
]
{\displaystyle (-\infty ,2]}
c
k
c
k
A
{\displaystyle {\mathsf {ckck}}A}
(
−
∞
,
4
)
{\displaystyle (-\infty ,4)}
c
k
c
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {ckckc}}A}
(
2
,
∞
)
{\displaystyle (2,\infty )}
k
c
k
c
k
A
{\displaystyle {\mathsf {kckck}}A}
(
−
∞
,
4
]
{\displaystyle (-\infty ,4]}
k
c
k
c
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {kckckc}}A}
[
2
,
∞
)
{\displaystyle [2,\infty )}
c
k
c
k
c
k
A
{\displaystyle {\mathsf {ckckck}}A}
(
4
,
∞
)
{\displaystyle (4,\infty )}
c
k
c
k
c
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {ckckckc}}A}
(
−
∞
,
2
)
{\displaystyle (-\infty ,2)}
정의 12. 예 11 의 집합
A
{\displaystyle A}
와 같이 폐포와 여집합을 취해 서로 다른 14개의 집합을 만들 수 있는 집합을 쿠라토프스키 14 집합(Kuratowski 14-set) 또는 간단히 14 집합(14-set)이라고 한다.
정리 13.
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
의 부분집합
A
{\displaystyle A}
가 쿠라토프스키 14 집합일 필요충분조건은 열린구간
I
{\displaystyle I}
가 존재해
A
{\displaystyle A}
와
c
A
{\displaystyle {\mathsf {c}}A}
가
I
{\displaystyle I}
에서 조밀 하고,
A
{\displaystyle A}
와
c
A
{\displaystyle {\mathsf {c}}A}
가 공집합 이 아니고 상대적으로 열린집합 이며 조밀한 곳이 없는
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
의 부분집합을 포함하는 것이다.[3] :367, Theorem 4
최대-최소 문제
2012년 Mark Bowron은 Mathematics Magazine 에 다음 문제를 제시하였다.[4]
위상공간
X
{\displaystyle X}
의 부분집합
E
{\displaystyle E}
에 폐포와 여집합을 어떤 순서로 반복적으로 적용해 서로 다른 집합 14개를 얻을 수 있으면
E
{\displaystyle E}
를 쿠라토프스키 14 집합이라고 한다.
|
E
|
=
3
{\displaystyle |E|=3}
인 쿠라토프스키 14 집합
E
{\displaystyle E}
가 존재한다는 것은 알려져 있다.
|
E
|
<
3
{\displaystyle |E|<3}
인 경우가 존재하는가?
A subset
E
{\displaystyle E}
of a topological space
X
{\displaystyle X}
is called a Kuratowski 14-set if 14 distinct sets can be obtained by repeatedly applying closure and complement to
E
{\displaystyle E}
in some order. It is known that Kuratowski 14-sets
E
{\displaystyle E}
with
|
E
|
=
3
{\displaystyle |E|=3}
exist. Do any exist with
|
E
|
<
3
{\displaystyle |E|<3}
?
예 14.
|
E
|
=
3
{\displaystyle |E|=3}
인 경우는 원소 수가 7인 위상공간에서 찾을 수 있다. 집합
X
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
}
{\displaystyle X=\{1,2,3,4,5,6,7\}}
에 다음 집합
B
=
{
∅
,
X
,
{
1
}
,
{
6
}
,
{
1
,
2
}
,
{
3
,
4
}
,
{
5
,
6
}
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\emptyset ,X,\{1\},\{6\},\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}\}}
를 기저 로 하는 위상을 부여하자. 그러면
A
=
{
1
,
3
,
5
}
{\displaystyle A=\{1,3,5\}}
는
|
A
|
=
3
{\displaystyle |A|=3}
이고,
집합
결과
집합
결과
A
{\displaystyle A}
{
1
,
3
,
5
}
{\displaystyle \{1,3,5\}}
c
A
{\displaystyle {\mathsf {c}}A}
{
2
,
4
,
6
,
7
}
{\displaystyle \{2,4,6,7\}}
k
A
{\displaystyle {\mathsf {k}}A}
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
7
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,7\}}
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {kc}}A}
{
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
}
{\displaystyle \{2,3,4,5,6,7\}}
c
k
A
{\displaystyle {\mathsf {ck}}A}
{
6
}
{\displaystyle \{6\}}
c
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {ckc}}A}
{
1
}
{\displaystyle \{1\}}
k
c
k
A
{\displaystyle {\mathsf {kck}}A}
{
5
,
6
,
7
}
{\displaystyle \{5,6,7\}}
k
c
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {kckc}}A}
{
1
,
2
,
7
}
{\displaystyle \{1,2,7\}}
c
k
c
k
A
{\displaystyle {\mathsf {ckck}}A}
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,2,3,4\}}
c
k
c
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {ckckc}}A}
{
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{3,4,5,6\}}
k
c
k
c
k
A
{\displaystyle {\mathsf {kckck}}A}
{
1
,
2
,
3
,
4
,
7
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,7\}}
k
c
k
c
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {kckckc}}A}
{
3
,
4
,
5
,
6
,
7
}
{\displaystyle \{3,4,5,6,7\}}
c
k
c
k
c
k
A
{\displaystyle {\mathsf {ckckck}}A}
{
5
,
6
}
{\displaystyle \{5,6\}}
c
k
c
k
c
k
c
A
{\displaystyle {\mathsf {ckckckc}}A}
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
이므로 쿠라토프스키 14 집합이다.[5] 그러나
|
E
|
<
3
{\displaystyle |E|<3}
인 경우는 존재하지 않는다.[6] [7]
정리 15. 위상공간
X
{\displaystyle X}
의 부분집합
E
{\displaystyle E}
가 쿠라토프스키 14 집합이면,
|
E
|
≥
3
{\displaystyle |E|\geq 3}
이다.
|
X
|
≥
7
{\displaystyle |X|\geq 7}
이다.[8] :213, Theorem 1
정리 16. 유한 T0 공간 의 집합에 폐포와 여집합을 취해 만들 수 있는 서로 다른 집합의 수는 최대 10개이고, 따라서 쿠라토프스키 14 집합을 가지지 않는다.[8] :215, Theorem 3
부분순서 구조
집합
A
{\displaystyle A}
의 모든 자기사상 의 집합을
E
n
d
(
A
)
{\displaystyle {\mathsf {End}}(A)}
라 하자. 그러면
k
,
c
,
i
∈
E
n
d
(
P
(
X
)
)
{\displaystyle {\mathsf {k}},{\mathsf {c}},{\mathsf {i}}\in {\mathsf {End}}({\mathcal {P}}(X))}
이다.
정의 17.
E
n
d
(
P
(
X
)
)
{\displaystyle {\mathsf {End}}({\mathcal {P}}(X))}
위의 관계
≤
{\displaystyle \leq }
를 다음과 같이 정의하자.
φ
≤
ψ
⟺
φ
A
⊂
ψ
A
,
∀
A
∈
P
(
X
)
{\displaystyle \varphi \leq \psi \Longleftrightarrow \varphi A\subset \psi A,\;\forall A\in {\mathcal {P}}(X)}
정리 18.
(
E
n
d
(
P
(
X
)
)
,
≤
)
{\displaystyle ({\mathsf {End}}({\mathcal {P}}(X)),\leq )}
는 부분순서집합 이다.
폐포와 내부의 기본적인 성질로부터 다음 명제를 이끌어낼 수 있다.
명제 19. 임의의
φ
,
ψ
∈
E
n
d
(
P
(
X
)
)
{\displaystyle \varphi ,\psi \in {\mathsf {End}}({\mathcal {P}}(X))}
에 대해 다음이 성립한다.
i
≤
ϵ
≤
k
{\displaystyle {\mathsf {i}}\leq \epsilon \leq {\mathsf {k}}}
i
φ
≤
φ
{\displaystyle {\mathsf {i}}\varphi \leq \varphi }
φ
≤
k
φ
{\displaystyle \varphi \leq {\mathsf {k}}\varphi }
φ
≤
ψ
{\displaystyle \varphi \leq \psi }
이면
i
φ
≤
i
ψ
{\displaystyle {\mathsf {i}}\varphi \leq {\mathsf {i}}\psi }
이다.
φ
≤
ψ
{\displaystyle \varphi \leq \psi }
이면
k
φ
≤
k
ψ
{\displaystyle {\mathsf {k}}\varphi \leq {\mathsf {k}}\psi }
이다.
명제 20. 명제 19 에 의해 다음 식이 성립한다.
i
≤
i
k
i
≤
k
i
≤
k
i
k
≤
k
{\displaystyle {\mathsf {i}}\leq {\mathsf {iki}}\leq {\mathsf {ki}}\leq {\mathsf {kik}}\leq {\mathsf {k}}}
(1 )
i
≤
i
k
i
≤
i
k
≤
k
i
k
≤
k
{\displaystyle {\mathsf {i}}\leq {\mathsf {iki}}\leq {\mathsf {ik}}\leq {\mathsf {kik}}\leq {\mathsf {k}}}
(2 )
한편, 예 11 , 14 로부터 일반적으로
i
k
i
≰
ϵ
{\displaystyle {\mathsf {iki}}\not \leq \epsilon }
,
ϵ
≰
i
k
i
{\displaystyle \epsilon \not \leq {\mathsf {iki}}}
k
i
≰
i
k
{\displaystyle {\mathsf {ki}}\not \leq {\mathsf {ik}}}
,
i
k
≰
k
i
{\displaystyle {\mathsf {ik}}\not \leq {\mathsf {ki}}}
,
k
i
≰
ϵ
{\displaystyle {\mathsf {ki}}\not \leq \epsilon }
,
ϵ
≰
k
i
{\displaystyle \epsilon \not \leq {\mathsf {ki}}}
,
i
k
≰
ϵ
{\displaystyle {\mathsf {ik}}\not \leq \epsilon }
,
ϵ
≰
i
k
{\displaystyle \epsilon \not \leq {\mathsf {ik}}}
k
i
k
≰
ϵ
{\displaystyle {\mathsf {kik}}\not \leq \epsilon }
,
ϵ
≰
k
i
k
{\displaystyle \epsilon \not \leq {\mathsf {kik}}}
임을 안다. 그러므로
(
{
ϵ
,
i
,
k
,
i
k
,
k
i
,
i
k
i
,
k
i
k
}
,
≤
)
{\displaystyle (\{\epsilon ,{\mathsf {i}},{\mathsf {k}},{\mathsf {ik}},{\mathsf {ki}},{\mathsf {iki}},{\mathsf {kik}}\},\leq )}
의 하세 도형 은 다음과 같다.
(
{
ϵ
,
c
,
k
,
c
k
,
k
c
,
c
k
c
,
k
c
k
,
c
k
c
k
,
k
c
k
c
,
c
k
c
k
c
,
k
c
k
c
k
,
c
k
c
k
c
k
,
k
c
k
c
k
c
,
c
k
c
k
c
k
c
}
,
≤
)
{\displaystyle (\{\epsilon ,{\mathsf {c}},{\mathsf {k}},{\mathsf {ck}},{\mathsf {kc}},{\mathsf {ckc}},{\mathsf {kck}},{\mathsf {ckck}},{\mathsf {kckc}},{\mathsf {ckckc}},{\mathsf {kckck}},{\mathsf {ckckck}},{\mathsf {kckckc}},{\mathsf {ckckckc}}\},\leq )}
의 하세 도형은 다음과 같다.
변형 문제
문제를 일반화하여 한 집합에 폐포, 내부, 여집합, 합집합 , 교집합 중 일부를 취해 만들 수 있는 서로 다른 집합의 개수를 구할 수 있다.
정의 21. 위상공간
X
{\displaystyle X}
에 대해
∧
,
∨
:
E
n
d
(
X
)
×
E
n
d
(
X
)
→
E
n
d
(
X
)
{\displaystyle \wedge ,\vee :{\mathsf {End}}(X)\times {\mathsf {End}}(X)\to {\mathsf {End}}(X)}
를 다음과 같이 정의하자.
(
φ
∧
ψ
)
A
=
φ
A
∩
ψ
A
,
(
φ
∨
ψ
)
A
=
φ
A
∪
ψ
A
{\displaystyle (\varphi \wedge \psi )A=\varphi A\cap \psi A,\quad (\varphi \vee \psi )A=\varphi A\cup \psi A}
다음 표는 한 집합에 연산을 취해 얻을 수 있는 서로 다른 집합의 최댓값을 정리한 것이다.[9]
연산
{
ϵ
}
{\displaystyle \{\epsilon \}}
{
∧
}
{\displaystyle \{\wedge \}}
{
∨
}
{\displaystyle \{\vee \}}
{
∧
,
∨
}
{\displaystyle \{\wedge ,\vee \}}
{
ϵ
}
{\displaystyle \{\epsilon \}}
1
1
1
1
{
i
}
{\displaystyle \{{\mathsf {i}}\}}
2
2
2
2
{
k
}
{\displaystyle \{{\mathsf {k}}\}}
2
2
2
2
{
c
}
{\displaystyle \{{\mathsf {c}}\}}
2
4
4
4
{
i
,
k
}
{\displaystyle \{{\mathsf {i}},{\mathsf {k}}\}}
7
13
13
35
{
i
,
c
}
=
{
k
,
c
}
=
{
k
,
i
,
c
}
{\displaystyle \{{\mathsf {i}},{\mathsf {c}}\}=\{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}=\{{\mathsf {k}},{\mathsf {i}},{\mathsf {c}}\}}
14
∞
∞
∞
쿠라토프스키 모노이드
각주
외부 링크