쿠라토프스키 폐포연산자

정의

정의 1. $A,B$ 를 집합 $X$ 의 부분집합이라 하자. 자기사상 ${\mathsf {c}}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ 가 다음 조건

${\mathsf {c}}\emptyset =\emptyset$

(1)

$A\subset {\mathsf {c}}A$

(2)

${\mathsf {c}}A={\mathsf {cc}}A$

(3)

${\mathsf {c}}(A\cup B)={\mathsf {c}}A\cup {\mathsf {c}}B$

(4)

를 만족하면 ${\mathsf {c}}$ 를 $X$ 위의 쿠라토프스키 폐포연산자(Kuratowski closure operator)라고 한다.

위상공간의 구성

쿠라토프스키 폐포연산자를 이용하여 집합에 위상을 부여할 수 있다.

정의 2. $X$ 위의 쿠라토프스키 폐포연산자 ${\mathsf {c}}$ 가 정의되었을 때, $X$ 의 부분집합 $A$ 에 대해 $A={\mathsf {c}}A$ 이면 $A$ 가 c-닫혀 있다고 한다.

정리 3. $\emptyset$ 과 $X$ 는 c-닫혀 있다.

Proof

$\emptyset$ 가 c-닫혀 있음은 (1)에 의해 자명하며, (2)에 의해 $X\subset {\mathsf {c}}X$ 인데 ${\mathsf {c}}X\in {\mathcal {P}}(X)$ 이므로 ${\mathsf {c}}X\subset X$ 이다. 따라서 $X={\mathsf {c}}X$ 이므로 $X$ 도 c-닫혀 있다.