쿠라토프스키 폐포연산자

정의

정의 1. $A,B$를 집합 $X$의 부분집합이라 하자. 자기사상 ${\mathsf {k}}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$가 다음 조건

${\mathsf {k}}\emptyset =\emptyset$

(1)

$A\subset {\mathsf {k}}A$

(2)

${\mathsf {k}}A={\mathsf {cc}}A$

(3)

${\mathsf {k}}(A\cup B)={\mathsf {k}}A\cup {\mathsf {k}}B$

(4)

를 만족하면 ${\mathsf {k}}$를 $X$ 위의 쿠라토프스키 폐포연산자(Kuratowski closure operator)라고 한다.

위상공간의 구성

쿠라토프스키 폐포연산자를 이용하여 집합에 위상을 부여할 수 있다.

정의 2. $X$ 위의 쿠라토프스키 폐포연산자 ${\mathsf {k}}$가 정의되었을 때, $X$의 부분집합 $A$에 대해 $A={\mathsf {k}}A$이면 $A$가 c-닫혀 있다고 한다.

정리 3. $\emptyset$과 $X$는 c-닫혀 있다.

Proof

$\emptyset$가 c-닫혀 있음은 (1)에 의해 자명하며, (2)에 의해 $X\subset {\mathsf {k}}X$인데 ${\mathsf {k}}X\in {\mathcal {P}}(X)$이므로 ${\mathsf {k}}X\subset X$이다. 따라서 $X={\mathsf {k}}X$이므로 $X$도 c-닫혀 있다.

보조정리 4. $X$의 임의의 부분집합 $A,B$에 대해 $A\subset B$이면 ${\mathsf {k}}A\subset {\mathsf {k}}B$이다.

Proof

(4)에 의해,

${\mathsf {k}}A\subset {\mathsf {k}}A\cup {\mathsf {k}}B={\mathsf {k}}(A\cup B)={\mathsf {k}}B$

이므로 원하는 결론을 얻는다.

정리 5. 임의의 c-닫힌 집합의 교집합은 c-닫혀 있다.

Proof

$X$의 c-닫힌 집합을 $C_{\alpha }$라 하면, (2)에 의해

$\bigcap _{\alpha \in I}C_{\alpha }\subset {\mathsf {k}}\bigcap _{\alpha \in I}C_{\alpha }$

임은 자명하다. 한편 임의의 $\beta \in I$에 대해

$\bigcap _{\alpha \in I}C_{\alpha }\subset C_{\beta }$

이므로 보조정리 4에 의해

${\mathsf {k}}\bigcap _{\alpha \in I}C_{\alpha }\subset {\mathsf {k}}C_{\beta }=C_{\beta }$

이므로

${\mathsf {k}}\bigcap _{\alpha \in I}C_{\alpha }\subset \bigcap _{\alpha \in I}C_{\alpha }$

이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

정리 6. 임의의 유한 개 c-닫힌 집합의 합집합은 c-닫혀 있다.

Proof

(4)로부터 수학적 귀납법을 이용하여 원하는 결론을 얻는다.

같이 보기

• 쿠라토프스키의 폐포-여집합 문제