베르누이 부등식

진술

Theorem — 임의의 양의 정수 $n$과 실수 $x>-1$에 대해 $(1+x)^{n}\geq 1+nx$이다.

일반화

정리 1. 임의의 $x>-1$에 대해,

• $\alpha >1$이거나 $\alpha <0$이면 $(1+x)^{\alpha }\geq 1+\alpha x$이다.
• $0<\alpha <1$이면 $(1+x)^{\alpha }\leq 1+\alpha x$이다.

정리 2.

• 임의의 $i=1,\dots ,n$에 대해 $a_{i}\geq 0,x_{i}>-1$이며 $\sum _{i=1}^{n}\leq 1$이라면, $\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})^{a_{i}}\leq 1+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$이다.
• 임의의 $i=1,\dots ,n$에 대해 $a_{i}\geq 1$ 또는 $a_{i}\leq 0$이고 $x_{i}>0$이고 $-1<x_{i}<0$이면, $\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})^{a_{i}}\geq 1+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$이다.