파투의 보조정리

실수계의 진술

파투의 보조정리(Fatou's Lemma) — $E\subset \mathbb {R}$를 가측집합이라 하자. $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$이 음이 아닌 가측함수 $f_{n}:E\to \mathbb {R}$들의 함수열이고 $E$에서 $f$에 거의 어디서나 수렴하면, 다음 부등식이 성립한다:

$\int _{E}f\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}.$

증명

Proof

(증명을 적어주세요.)

순부등식이 성립하는 예

Example — 함수 $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$을

$f(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in (n,n+1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

으로 정의하면 $f=0$이므로

$\int _{\mathbb {R} }f=0<1=\int _{\mathbb {R} }f_{n}$

이다.

극한함수를 배제한 일반화

Theorem — $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$이 음이 아닌 가측실함수들의 함수열이면 다음 부등식이 성립한다:

$\int _{E}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}.$

일반적인 측도공간의 진술

Theorem — 측도공간 $(X,{\mathcal {M}},\mu )$에서 $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$이 음이 아닌 가측함수 $f_{n}:X\to \mathbb {R}$들의 함수열이고 $X$에서 가측함수 $f$에 거의 어디서나 수렴하면, 다음 부등식이 성립한다:

$\int _{X}f\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}.$