방데르몽드 행렬식

방데르몽드 행렬식(Vandermonde determinant) 또는 방데르몽드 다항식(Vandermonde polynomial)은 정사각행렬인 방데르몽드 행렬의 행렬식이다.

계산

$n\times n$ 방데르몽드 행렬

V_{n}={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\cdots &\alpha _{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\alpha _{n}^{2}&\cdots &\alpha _{n}^{n-1}\end{bmatrix}}

에 대해

\det(V_{n})=\prod _{1\leq j<i\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})

이다.

V_n의 행렬식

\det(V_{n})={\begin{vmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\cdots &\alpha _{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\alpha _{n}^{2}&\cdots &\alpha _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}

의 $2,3,\dots ,n$ 행에서 1행을 빼는 기본행연산을 수행하면,

\det(V_{n})={\begin{vmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{1}^{n-1}\\0&\alpha _{2}-\alpha _{1}&\alpha _{2}^{2}-\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{2}^{n-1}-\alpha _{1}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\alpha _{n}-\alpha _{1}&\alpha _{n}^{2}-\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{n}^{n-1}-\alpha _{1}^{n-1}\end{vmatrix}}

을 얻는다. $j\in \{1,2,\dots ,n-1\}$ 에 대해, (j+1)열에서 j항의 $\alpha _{1}$ 배를 빼는 기본열연산을 내림차순으로 수행하면,

{\begin{aligned}\det(V_{n})&={\begin{vmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\alpha _{2}-\alpha _{1}&\alpha _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{2}^{n-2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\alpha _{n}-\alpha _{1}&\alpha _{n}(\alpha _{n}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}^{n-2}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\end{vmatrix}}\\&=\prod _{i=2}^{n}(\alpha _{i}-\alpha _{1}){\begin{vmatrix}1&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{2}^{n-2}\\1&\alpha _{3}&\cdots &\alpha _{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\cdots &\alpha _{n}^{n-2}\end{vmatrix}}\end{aligned}}

위의 계산과정을 반복하면,

\det(V_{n})=\prod _{k=1}^{n-1}\left(\prod _{i=k+1}^{n}(\alpha _{i}-\alpha _{k})\right)=\prod _{1\leq j<i\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})

을 얻는다.