디리클레 함수

함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$을 다음과 같이 정의하자.

$f(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\0,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

그러면 $x$가 유리수일 때 $f(x)=1$이고, $x$가 무리수일 때 $f(x)=0$이다. 이때 $f$를 디리클레 함수(Dirichlet function)라고 한다. 즉, 디리클레 함수는 $\mathbb {R}$에서 정의된 지시함수 $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }$이다. 디리클레 함수를 다음과 같이 정의하기도 한다.

$f(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)$

연속성

Theorem — 디리클레 함수는 모든 점에서 불연속이다.

적분가능성

Theorem — 디리클레 함수는 구간 $[a,b]$에서 리만 적분가능하지 않다.

Theorem — 디리클레 함수는 구간 $[a,b]$에서 르베그 적분가능하다.

같이 보기

• 토메 함수