축약가능공간

정의 1. 위상공간 $X$ 와 $x_{0}\in X$ 에 대해 연속함수 $F:X\times [0,1]\to X$ 가 존재해 임의의 $x\in X,s\in [0,1]$ 에 대해

$F(x,0)=x,\quad F(x,1)=x_{0},\quad F(x_{0},s)=x_{0}$

이면 $x_{0}$ 로 축약가능(contractible to a point $x_{0}$ )하다고 하고, $X$ 를 축약가능공간(contractible space)이라 한다.

정리 2. 다음 명제는 동등하다.

$X$ 는 축약가능공간이다.
항등사상 $\mathbf {1} :X\to X$ 이 영호모토픽이다.
위상공간 $Y$ 가 주어졌을 때, 임의의 연속함수 $f:Y\to X$ 가 영호모토픽이다.

예시

예 3. 다음 공간은 축약가능공간이다.

$\mathbb {R} ^{n}$ 의 볼록집합은 그 볼록집합의 임의의 점으로 축약가능하다.
$p\in S^{n}$ 이면 $S^{n}\setminus \{p\}$ 는 축약가능공간이다.
위상수학자의 빗은 축약가능공간이다.

성질

정리 4. 임의의 축약가능공간은 경로연결공간이고 단순연결공간이다.

Proof

$X$ 를 축약가능공간이라 하자. 그러면 연속함수 $F:X\times [0,1]\to X$ 와 $x_{0}\in X$ 가 존재해 임의의 $x\in X,s\in [0,1]$ 에 대해

$F(x,0)=x,\quad F(x,1)=x_{0},\quad F(x_{0},s)=x_{0}$

이다. 먼저 $X$ 가 경로연결공간임을 보이기 위해, 함수 $f_{x}:[0,1]\to X$ 를

$f_{x}(t)=F(x,t)$

로 정의하자. 그러면 $f_{x}$ 는 $x$ 에서 $x_{0}$ 으로 가는 경로이다. 그러면 $f_{x}*{\overline {f_{y}}}$ 는 $x$ 에서 $y$ 로 가는 경로임을 안다. 이제 $X$ 가 단순연결공간임을 보이자. $[\alpha ]\in \pi _{1}(X,x_{0})$ 에 대해, 함수 $H:[0,1]\times [0,1]\to X$ 를