급수

급수란, 단순히 설명하여 어떤 수열(실수열, 혹은 복소수열)이 주어졌을 때, 시작하는 항부터 주어진 항까지의 합을 다시금 수열로 표현한 것이라고 할 수 있다.

어떤 수열 $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$이 주어졌을 때, 새로운 수열 $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$을 $s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$으로 정의할 수 있으며, 이를 급수라고 한다. 이 때의 $s_{n}$을 제 $n$ 부분합이라고 한다. 만약, 극한 $\lim _{n\to \infty }s_{n}$이 존재한다면, 급수 $s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$은 수렴한다고 하며, 극한이 존재하지 않는다면 급수는 발산한다고 한다. 극한이 존재하여 $\lim _{n\to \infty }s_{n}=s\in \mathbb {C}$일 때, $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}=s$와 같이 이를 나타낸다.

예시

• $\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}$는 수렴하지 않는다.

• $z\in \mathbb {C}$가 $|z|<1$을 만족한다면, $\sum _{i=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}$이다.