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[[함수 (수학)|함수]] <math>f:A\to B</math>에 대해 [[역관계]] <math>f^{-1}</math>이 함수라면, <math>f^{-1}</math>을 '''역함수'''(inverse function)라고 한다. == 존재 조건과 유일성 == * (존재 조건) 함수 <math>f:A\to B</math>가 [[일대일 대응]]인 것은 <math>f</math>의 역함수가 존재한다는 것과 동치이다. <math>(\Longrightarrow)</math> <math>f</math>가 일대일대응이라고 가정하자. 그리고 <math>f</math>의 역관계를 <math>g</math>라고 하자. <math>B</math>의 임의의 원소 <math>b</math>에 대해 <math>f</math>가 [[위로의 함수]]이므로 <math>(a,b)\in f</math>인 <math>a\in A</math>가 존재한다. 그러면 역관계의 정의에 의해 <math>(b,a)\in g</math>이다. 즉 임의의 <math>b\in B</math>에 대해 <math>(b,a)\in g</math>인 <math>a\in A</math>가 존재한다고 말할 수 있다. 이제 <math>A</math>의 임의의 원소 <math>a_1,a_2</math>에 대해 <math>(b,a_1)\in g, (b,a_2)\in g</math>라고 가정하자. 그러면 <math>(a_1,b)\in f</math>이고 <math>(a_2,b)\in f</math>이다. 그런데 <math>f</math>가 [[일대일 함수]]이므로 <math>a_1=a_2</math>이다. 따라서 <math>g</math>는 함수이므로 <math>f</math>의 역함수는 존재한다. <math>(\Longleftarrow)</math> <math>f</math>의 역함수가 존재한다고 가정하고 <math>g</math>라고 표기하자. <math>(x_1,y)\in f,(x_2,y)\in f</math>이면 <math>(y,x_1)\in g,(y,x_2)\in g</math>이다. <math>g</math>가 함수이므로 <math>x_1=x_2</math>이다. 따라서 <math>f</math>는 일대일 함수이다. 또한 임의의 <math>b\in B</math>에 대해 <math>g</math>가 함수이므로 <math>(b,a)\in g</math>인 <math>a\in A</math>가 존재하고, 따라서 임의의 <math>b\in B</math>에 대해 <math>(a,b)\in f</math>인 <math>a\in A</math>가 존재한다고 말할 수 있다. 따라서 <math>f</math>는 위로의 함수이다. <math>f</math>가 일대일 함수이고 위로의 함수이므로, <math>f</math>는 일대일 대응이다. * ([[유일성]]) 함수 <math>f</math>의 역함수가 존재한다면 유일하다. 함수 <math>f</math>의 두 역함수를 <math>g_1,g_2</math>라고 하자. <math>i_A:A\to A,i_B=B\to B</math>를 [[항등함수]]라고 하면 <math>g_1=g_1 \circ i_{B}=g_1 \circ ( f \circ g_2) = (g_1 \circ f)\circ g_2 = i_A \circ g_2 = g_2</math> 이다. == 예시 == * <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>이 <math>f(x)=2x</math>로 정의되었을 때, <math>f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x</math> <!-- 많이 추가바람 --> == 같이 보기 == * [[역함수 정리]] [[분류:성격/용어]] [[분류:분야/수학]]
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