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== 정의 == 위상공간 <math>X</math>가 [[공집합]]이 아니고 [[서로소]]인 두 [[열린집합]]의 [[합집합]]이면 <math>X</math>를 '''비연결공간'''(disconnected space)이라고 한다. 비연결공간이 아닌 공간을 '''연결공간'''(connected space)이라고 한다. {{math theorem|다음 명제는 모두 동등하다. * <math>X</math>는 비연결공간이다. * <math>X</math>는 서로소이고 공집합이 아닌 두 [[닫힌집합]]의 합집합이다. * <math>X</math>는 두 [[분리된 집합]]의 합집합이다. * <math>X</math>가 [[정의역]]이고 [[이산공간]] <math>\{a,b\}</math>가 [[치역]]인 [[위로의 함수|위로의]] [[연속함수]]가 존재한다. * <math>X</math>의 열리고 닫힌 [[진부분집합]]이 존재한다. * <math>\overline{A}\cap \overline{X\setminus A}=\emptyset</math>인 <math>X</math>의 진부분집합 <math>A</math>가 존재한다.}} == 예시 == {{math theorem|name=Example|다음은 연결공간의 예시이다. * <math>\mathbb{R}</math>은 연결공간이다. * 임의의 [[비이산공간]]은 연결공간이다. * [[위상수학자의 사인곡선]]은 연결공간이다.}} {{math theorem|name=Non-Example|다음은 비연결공간의 예시이다. * 원소의 개수가 둘 이상인 [[이산공간]]은 비연결공간이다. * <math>\mathbb{R}</math>의 [[부분공간위상|부분공간]]인 <math>\mathbb{Q}</math>는 비연결공간이다.}} == 성질 == {{math theorem|연결성은 [[위상적 성질]]이다. 더 나아가, 연결성은 연속불변(continuous invariant)이다.}} {{math theorem|<math>X</math>의 부분공간 <math>Y</math>가 연결공간이면, <math>\overline{Y}</math>는 연결공간이다.}} {{math theorem|<math>Y</math>가 <math>X</math>의 연결부분공간이고 <math>X</math>의 부분공간 <math>Z</math>에 대해 <math>Y\subset Z\subset \overline{Y}</math>이면, <math>\overline{Z}</math>는 연결공간이다.}} == 관련 공간 == === 전비연결공간 === 위상공간의 부분집합 <math>C</math>가 연결집합이고 다른 부분연결집합의 부분집합이 아니면 <math>C</math>를 <math>X</math>의 성분(component)이라고 한다. 위상공간의 임의의 성분이 한원소집합이면 [[전비연결공간]](totally disconnected space)이라고 한다. === 경로연결공간 === 위상공간의 임의의 원소 <math>a,b</math>에 대해 <math>a</math>를 시점으로 하고 <math>b</math>를 종점으로 하는 [[경로]]가 존재하면 그 위상공간을 [[경로연결공간]](path connected space)이라고 한다. 임의의 경로연결공간은 연결공간이다. === 국소연결공간 === 위상공간의 원소 <math>p</math>를 포함하는 임의의 열린집합이 <math>p</math>를 포함하는 연결열린집합을 포함하면 <math>p</math>에서 국소연결(locally connected at a point <math>p</math>)되었다고 한다. 위상공간이 임의의 점에서 국소연결되면 그 위상공간을 [[국소연결공간]](locally connected space)이라고 한다. == 같이 보기 == * [[절단점]] [[분류:성격/위상공간]] [[분류:분야/수학]]
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