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[[실수계]]에서 [[구간]]의 [[길이]]부터 시작하여 [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]의 길이를 정의할 수 있으나, 길이의 개념을 모든 [[집합]]으로 [[일반화]]하려고 한다. 이때 실수계의 모든 집합의 모임을 [[정의역]]으로 삼고 함숫값이 [[확장된 실수]]인 [[함수]] <math>m</math>이 다음과 같은 네 가지 성질을 만족하기를 기대한다. # 임의의 <math>E\in\mathcal{P}(\mathbb{R})</math>에 대해 <math>m(E)</math>가 정의된다. # <math>I</math>가 구간이면 <math>m(I)=l(I)</math>이다. # [[가산가법성]]: <math>\{E_i\}</math>가 [[서로소]]인 집합열이면 <math>m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}m(E_i)</math>이다. # 평행변환불변성(translation invariance): <math>y</math>가 임의의 고정된 [[실수]]일 때 <math>m(E+y)=m(E)</math>이다. 그러나 [[연속체 가설]]을 가정한다면 네 가지 성질을 모두 만족하는 함수는 없다. 그러므로 적어도 하나의 조건이 완화될 필요가 있는데, '''외측도'''(outer measure)는 가산가법성을 약화한 개념이다. == 정의 == 임의의 집합 <math>E\subset \mathbb{R}</math>에 대해 <math>m^*(E)=\inf\sum_{i}l(I_i)</math> 를 '''르베그 외측도'''(Lebesgue outer measure), 또는 간단히 '''외측도'''(outer measure)라고 한다. 이때 <math>\{I_i\}</math>는 <math>E</math>를 [[덮개 (위상수학)|덮는]], 즉 <math>E\subset \bigcup_{i} I_i</math>를 만족하는 가산 개의 열린구간의 모임이다. == 성질 == * 임의의 집합 <math>A</math>에 대해 <math>m^*(A)\ge 0</math>이다. 특히 <math>m^*(\emptyset)=0</math>이다. * 두 집합 <math>A,B</math>에 대해 <math>A\subset B</math>이면 <math>m^*(A)\le m^*(B)</math>이다. {{math proof|<math>B\subset \bigcup_{i} I_i</math>인 가산 개의 서로소인 열린집합의 모임 <math>\{I_i\}</math>가 존재하는데, <math>A\subset B</math>이므로 <math>A\subset\bigcup_{i} I_i </math>이고 따라서 <math>m^*(A)\le \sum_{i}I_i</math>이다. 이 부등식은 임의의 <math>\{I_i\}</math>에 대해 성립하므로 <math>m^*(A)\le \inf\sum_{i}I_i=m^*(B)</math>이다.}} * <math>A</math>가 [[가산집합]]이면 <math>m^*(A)=0</math>이다. * 임의의 <math>x\in \mathbb{R}</math>에 대해 <math>m^*(A+x)=m^*(A)</math>이다. * 구간의 외측도는 그 구간의 길이와 같다. * 가산준가법성(Countable subadditivity): <math>\{E_i\}</math>이 가산 개의 집합의 모임이면 <math>m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i\right)\le\sum_{i=1}^{\infty}m(E_i)</math>이다. <math>\{E_i\}</math>이 서로소이어도 가산가법성이 성립하지는 않는다. == 예시 == * [[칸토어 집합]]의 외측도는 [[영]]이다. == 르베그 측도 == 집합 <math>E</math>가 주어졌을 때, 임의의 집합 <math>A</math>에 대해 <math>m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)</math> 이면 <math>E</math>는 [[르베그 측도|르베그 가측가능]](Lebesgue measurable) 또는 단순히 가측가능하다고 한다. [[분류:분야/수학]]
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