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'''2학년의 꿈(Sophomore's dream)'''은 [[1697년]]에 [[요한 베르누이]]가 발견한 [[정리]]다.<ref>Bos, Henk JM. [http://www.math.rug.nl/~henkbroer/vorigelezingen/beginstuk/bos.pdf "Johann Bernoulli on Exponential Curves ca. 1695 Innovation and Habituation in the Transition from Explicit Constructions to Implicit Functions."] Nieuw Archief voor Wiskunde 14 (1996): 1-20.</ref> [[2004년]]에 명명되어 지금까지 쓰이고 있다.<ref>Borwein, J., & Bailey, D. (2004). ''Experimentation in mathematics: Computational paths to discovery''. Natick, Mass.: AK Peters.</ref> == 진술 == 다음 식이 성립한다. : <math>\int_0^1 \frac{1}{x^x} dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}</math> : <math>\int_0^1 x^x dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^n}</math> == 증명 == <math>x^x</math>는 다음과 같이 변형할 수 있다. : <math>x^x=e^{x\ln x}</math> 이때 <math>e^x</math>의 매클로린급수는 : <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> 이므로 : <math>e^{x\ln x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n(\ln x)^n}{n!}</math> 이다. 따라서 : <math>\int_0^1 x^x dx=\int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n(\ln x)^n}{n!}dx</math> 이다. <math>x\in (0,1]</math>이라 하자. <math>f(x)=x\ln x</math>라 하면 : <math>f'(x)=\ln x+1</math> 이므로 ''f''는 0<''x''<1/e일 때 감소하고 1/e<''x''<1일 때 증가하며, ''x''=1/e에서 최솟값 -1/e를 가진다. 그러면 : <math>\lim_{x\to +0}x\ln x=0</math> 이므로 : <math>\left|x\ln x\right|\le\frac{1}{e}</math> 이고 따라서 : <math>\frac{(x\ln x)^n}{n!}\le\frac{1}{e^n n!}</math> 이며 : <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{e^n n!}</math> 는 수렴한다. 따라서 [[바이어슈트라스-M 판정법]]에 의해 : <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln x)^n}{n!}</math> 는 [[고른수렴]]한다. 따라서 다음 식이 성립한다. : <math>\int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln x)^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1 \frac{(x\ln x)^n}{n!}dx</math> 한편, 임의의 자연수 ''n''에 대해 : <math>\begin{align} \int x^n(\ln x)^n dx&=\frac{1}{n+1}x^{n+1}(\ln x)^n - \frac{n}{n+1}\int x^n(\ln x)^{n-1}dx\\ &=\frac{1}{n+1}x^{n+1}(\ln x)^n - \frac{n}{n+1}\left(\frac{1}{n+1}x^{n+1}(\ln x)^{n-1}-\frac{n-1}{n+1}\int x^n(\ln x)^{n-2}dx\right)\\ &=\cdots\\ &=x^{n+1} \sum_{i=0}^n(-1)^i\frac{i!{n \choose i}}{(n+1)^{i+1}}(\ln x)^{n-i} \end{align}</math> 이다. 임의의 자연수 ''m,n''에 대해, [[로피탈의 정리]]에 의해 : <math>\lim_{x\to +0}x^m(\ln x)^n=0</math> 이고 <math>\ln 1 =0</math>이므로 : <math>\int_0^1 x^n(\ln x)^n dx=(-1)^n\frac{n!}{(n+1)^{n+1}}</math> 이다. 그러므로 : <math>\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1 \frac{(x\ln x)^n}{n!}dx&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(n+1)^{n+1}}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^n} \end{align}</math> 을 얻는다.{{ㅊ|왜이리 길어?}} == 같이 보기 == * [[1학년의 꿈]] ==출처== <references /> {{분류:분류수정중}} [[분류:분야/미적분학]] [[분류:수학 정리]]
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