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대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 다항식의 근에 관한 정리이다. 이는 복소수체가 실수체와 달리 대수적으로 닫힘을 알려준다. 다시 말해, 복소수 계수로 만든 모든 방정식은 복소수 해가 존재한다. 뭐 당연한 거 아닌가 싶겠지만 사실 이거 꽤 신박한 거다. 옛날엔 페르마의 마지막 정리 수준의 이목을 끌었다고 한다.

진술

다음 둘은 서로 동치이며, 둘 중 ~~꼴리는~~ 하나를 대수학의 기본 정리라고 한다:

상수 아닌 복소계수 다항식은 하나 이상의 근을 갖는다.
$n$ 차 복소계수 다항식은 중근을 고려하여 정확히 $n$ 개의 근을 갖는다. ( $n\in {\mathbb {N}}$ )

증명

리우빌의 정리(Liouville’s theorem)를 이용하는 해석적 증명

다음은 복소해석학을 이용한 증명이다.^[1]

복소 다항식

p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0},~a_{n}\neq 0,~n\geq 1

가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 $z$ 에 대해 $p(z)\neq 0$ 라고 가정하자. 그러면 ${\frac {1}{p(z)}}$ 는 전해석함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여

|p(z)|=\left|z^{n}(a_{n}+{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}})\right|\geq |z|^{n}\left||a_{n}|-\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|\right|\cdots \cdots (a)

를 얻고, $C=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|$ 라 하면, 양수 $M>1$ 에 대해 $|z|\geq M$ 이면

\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|\leq {\frac {|a_{n-1}|}{|z|}}+\cdots +{\frac {|a_{0}|}{|z|^{n}}}\leq {\frac {|a_{n-1}|+\cdots +{|a_{0}|}}{|z|}}\leq {\frac {C}{M}}

이다. 여기서 $M$ 을 충분히 큰 값으로 선택하여 ${\frac {C}{M}}<{\frac {|a_{n}|}{2}}$ 가 되도록 하면 부등식

|a_{n}|-\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|>{\frac {|a_{n}|}{2}}

이 성립하므로 식 (a)로부터

\left|{\frac {1}{p(z)}}\right|\leq {\frac {2}{|a_{n}|M^{n}}}

을 얻는다. 즉, ${\frac {1}{p(z)}}$ 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 리우빌 정리에 의해 ${\frac {1}{p(z)}}$ 는 상수함수이다. 그러나 가정에서 ${p(z)}$ 는 상수가 아니라고 하였으므로 ${\frac {1}{p(z)}}$ 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 ${p(z)}$ 는 적어도 하나의 영점을 갖는다.

갈루아 이론을 이용하는 증명

우리가 "방정식을 푼다" 고 할 때 방정식의 해를 어떤 집합에서 찾는지 생각해보자. 실수들의 집합 R, 대수학의 기본정리의 경우 복소수들의 집합 C, 종종 모듈로 연산을 할 경우 $p$ 로 나눈 나머지만을 고려하여 $\{0,1,2,\ldots ,p-1\}$ 에서 해를 찾게 된다. 이러한 작업을 할 수 있는 일반적인 집합이 바로 체(field) 이다. 체에 대한 이론을 정립하고 기존에 고려하던 실수체 R과 C를 넘어서는 수많은 체들에 대해 방정식을 풀게 되면서 기존에 가능하지 않던 접근이 가능해진다. 갈루아 이론은 두 체 $E\subset F$ 가 있을 때 두 체 사이의 체를 갈루아 군이라는 대상의 부분군과 일대일 대응을 시킴으로서 분류를 가능하게 하는 이론이다. 이로서 군에 대하여 정립된 이론 (Sylow theory 등)을 적용할 수 있게 된다.

이 증명에서 이용되는 "대수적이지 않은 성질"은 $R$ 위의 홀수차수 방정식은 근을 갖는다는 중간값 정리와, 임의의 복소수의 제곱근이 복소수 집합 내에서 존재한다는, 본질적으로 이차방정식의 풀이이다.

중간값 정리는 체에 대한 명제로," $R$ 의 홀수 차수 확대체(extension field)는 존재하지 않는다"로 번역된다.

이차방정식의 풀이는 체에 대한 명제로, " $C$ 의 2차 확대체는 존재하지 않는다"로 번역된다.

대수학의 기본정리는 체에 대한 명제로, " $C$ 의 유한 확대체(finite extension field) 는 존재하지 않는다"로 번역된다. 만약 어떤 복소계수 다항식 $p(x)$ 의 해가 복소수체 $C$ 내부에서 존재하지 않는다면, 그러한 해들을 미지수 $\xi$ 로 놓고, 정확히 $R$ 에서 $x^{2}+1=0$ 의 해를 추가하여 $C$ 를 만들듯, $C$ 를 포함하는 더 큰 체를 만들 수 있기 때문이다.

이제 중간값 정리와 이차방정식의 풀이를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명한다. $C$ 의 유한 확대체 $E$ 가 존재한다고 가정하자. 임의의 유한 확대체는 유한 갈루아 확대체에 포함된다. $F$ 를 $E$ 를 포함하는 갈루아 확대체라 하자. 갈루아군 $Gal(F/R)$ 의 2-Sylow subgroup $H$ 를 생각하자. 갈루아 이론에 의해 $[F':R]$ 가 홀수인 $F$ 의 부분체 $F'$ 가 존재한다. 하지만 <중간값 정리>에 의해 $F'=R$ 이고, $[F,R]$ 는 2의 거듭제곱이어야만 한다. $[F:R]=[F:C][C:R]=2[F:C]$ 에서 $[F,C]$ 또한 2의 거듭제곱임을 알 수 있다. 이제 $[F:C]=2^{e}\neq 1$ 라 가정하자. Sylow theory의 결과를 다시 한 번 적용하면, $Gal(F/C)$ 의 원소 개수 $2^{e-1}$ 인 부분군이 존재하며, 갈루아 이론에 의해 이 부분군에 대응되는 $C$ 의 2차 확대체가 존재하게 된다. 이것은 이차방정식의 풀이에 모순이다. 따라서 $[F:C]=1$ 이고 $F=C$ 이다. 이로서 대수학의 기본 정리가 증명되었다.