페미위키:포크 프로젝트/리브레 위키/라플라스 방정식

다변수함수 $\psi =\psi (x_1,x_2,\cdots ,x_n)$에 대한 편미분방정식

${\mathrm{\nabla }}^2\psi =0$

를 라플라스 방정식(Laplace equation)이라 하고, 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 조화함수(Harmonic function)라고 한다.

공식

3차원 좌표계

• 직각좌표계: $\psi =\psi (x,y,z)$

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}=0$

• 원통좌표계: $\psi =\psi (r,\varphi ,z)$

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \psi }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}=0$

• 구면좌표계: $\psi =\psi (r,\theta ,\varphi )$

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \psi }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\frac{\partial \psi }{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\varphi }^2}=0$

2차원 좌표계

• 직각좌표계: $\psi =\psi (x,y)$

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}=0$

• 극좌표계: $\psi =\psi (r,\theta )$

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\theta }^2}=0$

해의 존재성과 유일성

빈 문단 이 문단은 비어 있습니다. 내용을 추가해 주세요.

방정식의 일반해

2차원 직각좌표계

라플라스 방정식

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}=0$

을 변수분리법으로 풀자. 함수 $X(x),Y(y)$에 대해

$\psi (x,y)=X(x)Y(y)$

라고 가정하자. 그러면 라플라스 방정식은

$X^{″}Y+Y^{″}X=0$

로 주어진다. 양변을 $XY$로 나누면

$\frac{X^{″}}{X}+\frac{Y^{″}}{Y}=0$

를 얻는다. 그러면

$\frac{X^{″}}{X}=-\frac{Y^{″}}{Y}=k$

인 $k\in ℝ$가 존재한다. 따라서 다음 이계미분방정식을 얻는다.

$X^{″}=kX,Y^{″}=-kY$

• $k>0$이면, $k={\lambda }^2$인 $\lambda \in ℝ$가 존재한다. 따라서 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. (단, $A,B,C,D$는 상수)

  $X(x)=A\cosh \lambda x+B\sinh \lambda x,Y(y)=C\cos \lambda y+D\sin \lambda y$

• $k=0$이면 $X^{″}=0,Y^{″}=0$이므로 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.

  $X(x)=A+Bx,Y(y)=C+Dy$

• $k<0$이면 $k>0$일 때와 비슷한 방법으로 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

경계값 문제

$0<x<a,0<x<b$에서 경계값 문제

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}=0$

$u(x,0)=0,u(x,b)=0,u(0,y)=0,u(a,y)=f(y)$

를 만족하는 영이 아닌 함수 $u(x,y)=X(x)Y(y)$를 구하자.

$k<0$일 경우,

$X(x)=A\cos \lambda x+B\sin \lambda x,Y(y)=C\cosh \lambda y+D\sinh \lambda y$

이다.

$u(x,0)=C(A\cos \lambda x+B\sin \lambda x)=0$

인데 $A=B=0$이면 $X(x)=0$이므로 $C=0$이다.

$u(0,y)=AD\sinh \lambda y=0$

인데 $D=0$이면 $Y(y)=0$이므로 $A=0$이다.

$u(x,b)=BD\sin \lambda x\sinh \lambda b=0$

인데 $B=0$ 또는 $D=0$이다. 어느 경우든 $X(x)=0$ 또는 $Y(y)=0$이므로 $k<0$일 수 없다.

$k=0$일 경우,

$X(x)=A+Bx,Y(y)=C+Dy$

이다.

$u(x,0)=C(A+Bx)=0$

인데 $A=B=0$이면 $X(x)=0$이므로 $C=0$이다.

$u(0,y)=ADy=0$

인데 $D=0$이면 $Y(x)=0$이므로 $A=0$이다.

$u(x,b)=BDxb=0$

인데 $B=0$ 또는 $D=0$이다. 어느 경우라도 $X(x)=0$ 또는 $Y(y)=0$이므로 $k=0$일 수 없다.

$k>0$일 경우,

$X(x)=A\cosh \lambda x+B\sinh \lambda x,Y(y)=C\cos \lambda y+D\sin \lambda y$

이다.

$u(x,0)=C(A\cosh \lambda x+B\sinh \lambda x)=0$

인데 $A=B=0$이면 $X(x)=0$이므로 $C=0$이다.

$u(0,y)=AD\sin \lambda y=0$

인데, $D=0$이면 $Y(y)=0$이므로 $A=0$이다.

$u(x,b)=BD\sinh \lambda x\sin \lambda b=0$

이므로 $B=0$ 또는 $D=0$ 또는 $\sin \lambda b=0$이다. 따라서 자연수 n에 대해 $\lambda =\frac{n\pi }{b}$이다. 따라서

$u_n(x,y)=\sinh \frac{n\pi x}{b}\sin \frac{n\pi y}{b}$

는 경계값 문제의 해이다. 이제 $u(x,y)$를 상수 $c_1,c_2,\dots$에 대해

$u(x,y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\sinh \frac{n\pi x}{b}\sin \frac{n\pi y}{b}$

로 나타낼 수 있다. 그러면

$u(a,y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\sinh \frac{n\pi a}{b}\sin \frac{n\pi y}{b}=f(y)$

인데,

$f(y)\sin \frac{n\pi y}{b}=\sin \frac{n\pi y}{b}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\sinh \frac{k\pi a}{b}\sin \frac{k\pi y}{b}$

이고 양변을 0에서 b까지 정적분하면

$c_n=\frac{2}{b\sinh \frac{n\pi a}{b}}{\int }_0^{b}f(y)\sin \frac{n\pi y}{b}dy$

를 얻는다.

등장 시점

열확산방정식

열 T에 대해, 시간에 따른 열방정식은

$\frac{\partial T}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^{2}T$

으로 주어진다. 만약 정상 상태에 있을 경우, $\frac{\partial T}{\partial t}=0$이므로

${\mathrm{\nabla }}^{2}T=0$

이 되어 라플라스 방정식을 얻는다.

같이 보기

• 푸아송 방정식