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정의

질량 $m_{1},m_{2},\cdots ,m_{n}$인 입자의 위치벡터를 $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots ,\mathbf {r} _{n}$라고 하자. 이 입자로 구성된 계의 질량중심을 $\mathbf {R}$이라고 한다면,

$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}$

이때

$M=\sum _{i=1}^{n}m_{i}$

이다.

만약 질량이 연속적으로 분포되어 있다면,

$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} dm$

이다. 이때 물체의 밀도를 $\rho (\mathbf {r} )$이라고 하면,

$M=\int \rho (\mathbf {r} )dV$

$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\int \rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} dV$

이다.

성질

• 계의 질량중심의 운동은 계의 총 질량과 동일한 질량을 가진 단일 입자가 모든 외력의 작용을 받아 운동하는 경우와 동일하고, 내력의 작용에 무관하다.

입자 α에 가해지는 외력을 $\mathbf {F} _{\alpha }^{(e)}$, 내력을 $\mathbf {f} _{\alpha }$라고 하자. 그러면

$\mathbf {F} _{\alpha }=\mathbf {F} _{\alpha }^{(e)}+\mathbf {f} _{\alpha }$

이다. 입자 β가 입자 α에 가하는 힘을 $\mathbf {f} _{\alpha \beta }$라고 하면,

$\mathbf {f} _{\alpha }=\sum _{\beta }\mathbf {f} _{\alpha \beta }$

이다. 한편 뉴턴의 제2법칙에 의해

$m_{\alpha }{\ddot {\mathbf {r} _{\alpha }}}=\mathbf {F} _{\alpha }^{(e)}+\mathbf {f} _{\alpha }$

이고 따라서

$\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\ddot {\mathbf {r} _{\alpha }}}=\sum _{\alpha }\mathbf {F} _{\alpha }^{(e)}+\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\mathbf {f} _{\alpha \beta }$

이다. 그러면

$\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\ddot {\mathbf {r} _{\alpha }}}=M{\ddot {\mathbf {R} }}$

이고

$\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\mathbf {f} _{\alpha \beta }=\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\mathbf {f} _{\beta \alpha }=-\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\mathbf {f} _{\alpha \beta }$

이므로 $\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\mathbf {f} _{\alpha \beta }=0$이다. 따라서

$M{\ddot {\mathbf {R} }}=\sum _{\alpha }\mathbf {F} _{\alpha }^{(e)}$

이다.