축약가능공간

정의 1. 위상공간 $X$와 $x_0\in X$에 대해 연속함수 $F:X\times [0,1]\to X$가 존재해 임의의 $x\in X,s\in [0,1]$에 대해

$F(x,0)=x,F(x,1)=x_0,F(x_0,s)=x_0$

이면 $x_0$로 축약가능(contractible to a point $x_0$)하다고 하고, $X$를 축약가능공간(contractible space)이라 한다.

정리 2. 다음 명제는 동등하다.

• $X$는 축약가능공간이다.
• 항등사상 $\mathrm{𝟏}:X\to X$이 영호모토픽이다.
• 위상공간 $Y$가 주어졌을 때, 임의의 연속함수 $f:Y\to X$가 영호모토픽이다.

예시

예 3. 다음 공간은 축약가능공간이다.

• ${ℝ}^n$의 볼록집합은 그 볼록집합의 임의의 점으로 축약가능하다.
• $p\in S^n$이면 $S^n\setminus \{p\}$는 축약가능공간이다.
• 위상수학자의 빗은 축약가능공간이다.

성질

정리 4. 임의의 축약가능공간은 경로연결공간이고 단순연결공간이다.

Proof

$X$를 축약가능공간이라 하자. 그러면 연속함수 $F:X\times [0,1]\to X$와 $x_0\in X$가 존재해 임의의 $x\in X,s\in [0,1]$에 대해

$F(x,0)=x,F(x,1)=x_0,F(x_0,s)=x_0$

이다. 먼저 $X$가 경로연결공간임을 보이기 위해, 함수 $f_x:[0,1]\to X$를

$f_x(t)=F(x,t)$

로 정의하자. 그러면 $f_x$는 $x$에서 $x_0$으로 가는 경로이다. 그러면 $f_x\ast \overline{f_y}$는 $x$에서 $y$로 가는 경로임을 안다. 이제 $X$가 단순연결공간임을 보이자. $[\alpha ]\in {\pi }_1(X,x_0)$에 대해, 함수 $H:[0,1]\times [0,1]\to X$를

$H(t,s)=F(\alpha (t),s)$

로 정의하자. 그러면 $H$는 연속함수이고

$H(t,0)=\alpha (t),H(t,1)=x_0,H(0,s)=H(1,s)=x_0$

이므로, $c$를 $x_0$의 상수루프라 하면 $H$는 $\alpha$와 $c$ 사이의 경로호모토피이고, 그러므로 $[\alpha ]=[c]$이다. 따라서 ${\pi }_1(X,x_0)$는 자명군이므로 원하는 결과를 얻는다.