정의
유사환 R의 부분환 I에 대하여,[1]
- 임의의
에 대해
를 만족하면 I를 R의 좌아이디얼(left ideal)이라고 한다.
- 임의의
에 대해
를 만족하면 I를 R의 우아이디얼(right ideal)이라고 한다.
- I가 R의 좌아이디얼이면서 우아이디얼이면, I를 R의 양쪽 아이디얼(two-sided ideal) 또는 그냥 아이디얼(ideal)[2]이라 하고, 구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\require"): {\displaystyle \require{AMSmath}\require{AMSsymbols}I \trianglelefteq R}
로 표기한다.
만약 R이 가환환이라면, 교환법칙이 성립하므로 위 세 정의가 동치가 됨을 알 수 있다. 즉, 예를 들어 좌아이디얼인지만 확인하면 자동으로 아이디얼이 된다.
예시
,
- R이 나눗셈환이면 아이디얼은 이들 둘밖에 없다. 영이 아닌 아이디얼은 1R을 포함하게 되기 때문이다.
- f:R → S가 환 준동형사상(ring homomorphism)일 때,
.[3]
- M이 R가군(R‐module)일 때, M의 부분집합 N에 대하여
는 R의 아이디얼이 되고, 이를 annihilator ideal이라 한다.
- K선형사상 T가 주어진 K벡터공간 V를 K[t]가군으로 볼 때,
의 생성자인 유일한 최소 차수의 monic polynomial이 바로 T의 최소다항식(minimal polynomial)이다.
- 정수환
의 아이디얼은
꼴밖에 없다. 따라서
는 주아이디얼 정역(principle ideal domain)이다.
- 실수를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 집합
은 행렬 연산에 관해 환(행렬환)을 이룬다. 집합 I를 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle I=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&0\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c94dbb5a098eb544f3b4b0a6961111c41fb217d)
그러면 I는
의 부분환이다. 이때 임의의
에 대해
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&0\\b&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xa+yb&0\\za+wb&0\end{bmatrix}}\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb04558d33ded2f72fad6b6d2df6df4cb08cd736)
이므로 I는
의 좌아이디얼이다. 그러나
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\2&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\6&8\end{bmatrix}}\not \in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b2c0a285c64b6eab9eb76141dfd00516f57f59)
이므로 I는
의 우아이디얼이 아니다. 따라서 I는
의 아이디얼이 아니다.
성질
와
가 환
의 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이면,
도
의 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이다. 이는 정의에 의해 자명하다.
가 환
의 좌아이디얼임과, 좌
-가군
[4]의 좌
-부분가군이라는 것은 동치이다. 오른쪽도 마찬가지이고, 이것도 정의에 의해 자명하다.
연산
아이디얼 사이에 다음과 같은 연산을 정의할 수 있다.
와
가 환
의 아이디얼이면, 집합
도
의 아이디얼이다. 이때
를
와
의 합이라고 부르고
로 나타낸다.
와
가 환
의 아이디얼이면, 집합
![{\displaystyle P=\{i_{1}j_{1}+i_{2}j_{2}+\cdots +i_{n}j_{n}\vert n\geq 1,i_{k}\in I,j_{k}\in J\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a252993c7ce39ec98c0ab8b3bbeda4e76c4071b)
- 는
의 아이디얼이다. 이때
를
와
의 곱이라고 부르고
로 나타낸다. [5]
이 생성하는 아이디얼
일 때,
를 포함하는
의 최소의(smallest) (좌, 우, 양쪽) 아이디얼을
가 생성하는 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이라고 한다. 이러한 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼
의 존재성과 유일성은
를 증명하면 보일 수 있다[6]. 증명은 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼의 교집합이 다시 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이때
를 이 아이디얼
의 생성자(generator)라고 한다.
이하
을 항등원을 갖는 가환환이라고 가정하자. 한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 주 아이디얼(principal ideal)이라고 한다. 이때
이 생성하는 주 아이디얼은
로 표기한다. 이는 다음과 같은 집합이 됨을 쉽게 알 수 있다.
![{\displaystyle (c)=\{rc\vert r\in R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5bace53efa943faf89c398cbb8cd53a5921ee3)
유한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 유한 생성 아이디얼(finitely generated ideal)이라고 한다. 이때
이 생성하는 아이디얼
는 다음과 같은 집합이 된다.
![{\displaystyle (c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n})=\{r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2}+\cdots +r_{n}c_{n}\vert r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}\in R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f502623b8a50b4466c11cc3121da1d51f91de4ec)
여러 가지 아이디얼
같이 보기
참고문헌
- Thomas W. Hungerford (2012). Abstract Algebra: An Introduction. (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336
- ↑ 부분환이 1을 갖지 않아도 되는 것을 전제한다. 자세한 내용은 환 참조.
- ↑ 일부 서적에서는 독일 발음인 이데알(ideal)이라 쓰기도 한다.
- ↑ 증명: 임의의 r∈R 및 x∈ker f에 대해 f(rx) = f(r) f(x) = f(r) · 0 = 0.
- ↑ 환은 자기 자신의 (좌, 우) 가군이라 생각할 수 있다.
- ↑ 아이디얼 I, J에 대해, 집합
는 일반적으로 R의 아이디얼이 아니다. 예를 들어
이고, I=(s,2), J=(t,3)이라고 하면,
이지만
이다.
- ↑ 여기서의 기호 ⊴(trianglelefteq)는 양쪽 아이디얼의 경우에만 해당되는 것이지만 기술의 편의를 위해 기호를 남용했다.