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정의

유사환 R의 부분환 I에 대하여,

• 임의의 $r\in R,i\in I$에 대해 $ri\in I$를 만족하면 I를 R의 좌아이디얼(left ideal)이라고 한다.
• 임의의 $r\in R,i\in I$에 대해 $ir\in I$를 만족하면 I를 R의 우아이디얼(right ideal)이라고 한다.
• I가 R의 좌아이디얼이면서 우아이디얼이면, I를 R의 양쪽 아이디얼(two-sided ideal) 또는 그냥 아이디얼(ideal)이라 하고, 구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\require"): {\displaystyle \require{AMSmath}\require{AMSsymbols}I \trianglelefteq R} 로 표기한다.

만약 R이 가환환이라면, 교환법칙이 성립하므로 위 세 정의가 동치가 됨을 알 수 있다. 즉, 예를 들어 좌아이디얼인지만 확인하면 자동으로 아이디얼이 된다.

예시

• $0\trianglelefteq R$, $R\trianglelefteq R$
  • R이 나눗셈환이면 아이디얼은 이들 둘밖에 없다. 영이 아닌 아이디얼은 1_R을 포함하게 되기 때문이다.
• f:R → S가 환 준동형사상(ring homomorphism)일 때, $\operatorname {ker} f\trianglelefteq R$.
• M이 R가군(R‐module)일 때, M의 부분집합 N에 대하여 $\operatorname {ann} (N)=\{r\in R\vert rN=0\}$는 R의 아이디얼이 되고, 이를 annihilator ideal이라 한다.
  • K선형사상 T가 주어진 K벡터공간 V를 K[t]가군으로 볼 때, $\operatorname {ann} (V)$의 생성자인 유일한 최소 차수의 monic polynomial이 바로 T의 최소다항식(minimal polynomial)이다.
• 정수환 $\mathbb {Z}$의 아이디얼은 $n\mathbb {Z}$ 꼴밖에 없다. 따라서 $\mathbb {Z}$는 주아이디얼 정역(principle ideal domain)이다.

• 실수를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 집합 $M_{2}(\mathbb {R} )$은 행렬 연산에 관해 환(행렬환)을 이룬다. 집합 I를 다음과 같이 정의하자.

$I=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&0\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}$

그러면 I는 $M_{2}(\mathbb {R} )$의 부분환이다. 이때 임의의 $x,y,z,w\in \mathbb {R}$에 대해

${\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&0\\b&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xa+yb&0\\za+wb&0\end{bmatrix}}\in I$

이므로 I는 $M_{2}(\mathbb {R} )$의 좌아이디얼이다. 그러나

${\begin{bmatrix}1&0\\2&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\6&8\end{bmatrix}}\not \in I$

이므로 I는 $M_{2}(\mathbb {R} )$의 우아이디얼이 아니다. 따라서 I는 $M_{2}(\mathbb {R} )$의 아이디얼이 아니다.

성질

• $I$와 $J$가 환 $R$의 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이면, $I\cap J$도 $R$의 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이다. 이는 정의에 의해 자명하다.
• $I$가 환 $R$의 좌아이디얼임과, 좌 $R$-가군 $R$의 좌 $R$-부분가군이라는 것은 동치이다. 오른쪽도 마찬가지이고, 이것도 정의에 의해 자명하다.

연산

아이디얼 사이에 다음과 같은 연산을 정의할 수 있다.

• $I$와 $J$가 환 $R$의 아이디얼이면, 집합 $S=\{i+j\vert i\in I,j\in J\}$도 $R$의 아이디얼이다. 이때 $S$를 $I$와 $J$의 합이라고 부르고 $I+J$로 나타낸다.
• $I$와 $J$가 환 $R$의 아이디얼이면, 집합

  $P=\{i_{1}j_{1}+i_{2}j_{2}+\cdots +i_{n}j_{n}\vert n\geq 1,i_{k}\in I,j_{k}\in J\}$

는 $R$의 아이디얼이다. 이때 $P$를 $I$와 $J$의 곱이라고 부르고 $IJ$로 나타낸다.

$X\subseteq R$이 생성하는 아이디얼

$X\subseteq R$일 때, $X$를 포함하는 $R$의 최소의(smallest) (좌, 우, 양쪽) 아이디얼을 $X$가 생성하는 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이라고 한다. 이러한 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼 $I$의 존재성과 유일성은 $I=\bigcap _{X\subseteq J\trianglelefteq R}J$를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼의 교집합이 다시 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이때 $X$를 이 아이디얼 $I$의 생성자(generator)라고 한다.

이하 $R$을 항등원을 갖는 가환환이라고 가정하자. 한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 주 아이디얼(principal ideal)이라고 한다. 이때 $c\in R$이 생성하는 주 아이디얼은 $(c)$로 표기한다. 이는 다음과 같은 집합이 됨을 쉽게 알 수 있다.

$(c)=\{rc\vert r\in R\}$

유한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 유한 생성 아이디얼(finitely generated ideal)이라고 한다. 이때 $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}\in R$이 생성하는 아이디얼 $(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n})$는 다음과 같은 집합이 된다.

$(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n})=\{r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2}+\cdots +r_{n}c_{n}\vert r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}\in R\}$

여러 가지 아이디얼

• 소아이디얼(prime ideal)
• 극대아이디얼(maximal ideal)

같이 보기

• 몫환
• 정규부분군

참고문헌

• Thomas W. Hungerford (2012). Abstract Algebra: An Introduction. (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336